可換環論・ホモロジー代数の問題

クルル次元 0 であること. $A$ は $\mathbb{Q}$ 上 $1,x,\dots ,x^{11}$ と $1,y$ の積で張られ，${\dim }_{\mathbb{Q}}A=24$ の有限次元 $\mathbb{Q}$ 代数である．有限次元代数の素イデアル $P$ について $A/P$ は有限次元の整域なので体であり，$P$ は極大イデアルである．よって $A$ の素イデアルと極大イデアルは一致し，その個数を数えればよい．

$x$ について分解する. 有理数体上で
$$x^{12}-1=\prod _{d\mid 12}{\Phi }_d(x)={\Phi }_1{\Phi }_2{\Phi }_3{\Phi }_4{\Phi }_6{\Phi }_{12}$$
と円分多項式に分解し，各 ${\Phi }_d$ は $\mathbb{Q}$ 上既約で，互いに異なる（したがって互いに素）．中国剰余定理より
$$\mathbb{Q}[x]/(x^{12}-1)\cong \prod _{d\mid 12}\mathbb{Q}[x]/({\Phi }_d)\cong \prod _{d\mid 12}\mathbb{Q}({\zeta }_d)$$
である（${\zeta }_d$ は 1 の原始 $d$ 乗根）．$A=\mathbb{Q}[x]/(x^{12}-1){\otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}[y]/(y^2-3)$ なので
$$A\cong \prod _{d\mid 12}\mathbb{Q}({\zeta }_d)[y]/(y^2-3).$$
有限個の環の直積の素イデアルの個数は各成分の素イデアルの個数の和である．

各成分の素イデアル. 体 $K=\mathbb{Q}({\zeta }_d)$ に対し，$K[y]/(y^2-3)$ の素イデアルの個数は $y^2-3$ の $K$ 上の相異なる既約因子の個数に等しい．したがって
- $\sqrt{3}\in K$ なら $y^2-3=(y-\sqrt{3})(y+\sqrt{3})$（相異なる 2 因子）で 2 個，
- $\sqrt{3}\notin K$ なら $y^2-3$ は既約で 1 個．

各 $d$ について調べる．
- $d=1,2$: $K=\mathbb{Q}$ で $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$．
- $d=4$: $K=\mathbb{Q}(i)$．その 2 次部分体は自分自身のみで $\mathbb{Q}(i)\ne \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ なので $\sqrt{3}\notin K$．
- $d=3,6$: $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\ne \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ なので $\sqrt{3}\notin K$．
- $d=12$: ${\zeta }_{12}=e^{\pi i/6}$ とおくと ${\zeta }_{12}+{\zeta }_{12}^{-1}=2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$ なので $\sqrt{3}\in K$．

集計. $d=1,2,3,4,6$ の 5 成分がそれぞれ 1 個，$d=12$ の成分が 2 個なので，素イデアルの個数は
$$5\cdot 1+2=7.$$

$A$ は $\mathbb{Q}$ 上有限次元なのでアルティン環であり、素イデアルはすべて極大イデアルである。よって素イデアルの個数は $A$ のスペクトルの点の数、すなわち直積分解の各因子の極大イデアルの個数の和である。

$x^{12}-1={\prod }_{d\mid 12}{\Phi }_d(x)$ は $\mathbb{Q}$ 上互いに素な既約多項式の積なので、中国剰余定理より
$$\mathbb{Q}[x]/(x^{12}-1)\cong \prod _{d\in \{1,2,3,4,6,12\}}\mathbb{Q}({\zeta }_d).$$
したがって
$$A\cong \prod _d\mathbb{Q}({\zeta }_d)[y]/(y^2-3).$$

各 $d$ について、$K_d=\mathbb{Q}({\zeta }_d)$ 上の $y^2-3$ の分解を調べる。$K_d[y]/(y^2-3)$ の素イデアルの個数は、$y^2-3$ が $K_d$ 上可約（$\sqrt{3}\in K_d$）なら 2、既約なら 1 である。

• $d=1,2$: $K_d=\mathbb{Q}$。$\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$ なので 1 個。
• $d=3,6$: $K_d=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$。$\sqrt{3}\in \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ なら $\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ となるが、判別式が異なる（$12$ と $-3$）ので成り立たない。1 個。
• $d=4$: $K_4=\mathbb{Q}(i)$。同様に $\mathbb{Q}(\sqrt{3})\ne \mathbb{Q}(i)$（実体と虚体）なので 1 個。
• $d=12$: $K_{12}=\mathbb{Q}({\zeta }_{12})$ で、${\zeta }_{12}+{\zeta }_{12}^{-1}=2\cos (\pi /6)=\sqrt{3}$ なので $\sqrt{3}\in K_{12}$。$y^2-3=(y-\sqrt{3})(y+\sqrt{3})$ と分解し 2 個。

合計は $1+1+1+1+1+2=7$。

検算: $A$ の $\mathbb{Q}$ 上の次元は $12\cdot 2=24$。各因子の次元は $\phi (d)\cdot 2$ で和は $2\sum \phi (d)=2\cdot 12=24$ と合う。$d=12$ の因子は $K_{12}\times K_{12}$（次元 $8$）で、2 個の極大イデアルをもつ。また、素イデアルは $\mathbb{Q}$ 上の $(x,y)\mapsto (\zeta ,\pm \sqrt{3})$ の共役類の個数に対応する。$(\zeta ,\sqrt{3})$ の生成する体は $d$ により $\mathbb{Q}({\zeta }_d,\sqrt{3})$ で、ガロア共役の軌道数は、$24$ 個の $\overline{\mathbb{Q}}$ 点を軌道に分けて数えると $7$ になる（$d=1,2$: 各 2 点で 1 軌道、$d=3,6$: 各 4 点で 1 軌道、$d=4$: 4 点で 1 軌道、$d=12$: 8 点が 2 軌道）。