可換環論・ホモロジー代数の問題

手順 1: 1 変数ずつ剰余をとる. $x^2+3$ は有理数の根をもたない 2 次式なので $\mathbb{Q}$ 上既約であり、
$$K=\mathbb{Q}[x]/(x^2+3)$$
は体である。$x$ の像を $\alpha$ とおくと ${\alpha }^2=-3$ で、$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ とみなせる。剰余を順にとると
$$A\cong K[y]/(y^3-1)$$
である（$A\cong K{\otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}[y]/(y^3-1)$）。

手順 2: 素イデアルと既約因子の対応. $K[y]$ は単項イデアル整域なので、対応定理により $K[y]/(g)$ の素イデアルは、$g$ の $K$ 上のモニック既約因子 $h$ による $(h)/(g)$ と 1 対 1 に対応する。よって $y^3-1$ を $K$ 上で既約因子に分解すればよい。

手順 3: $K$ 上での分解. まず $y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$。$y^2+y+1=0$ の解は
$$y=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm \alpha }{2}$$
で、これは $K$ の元である。したがって $K[y]$ において
$$y^3-1=(y-1)\left(y-\frac{-1+\alpha }{2}\right)\left(y-\frac{-1-\alpha }{2}\right)$$
と相異なる 3 つの 1 次式に分解する。

手順 4: 結論. 既約因子が 3 個なので、$A$ の素イデアルは 3 個である（それぞれ剰余体は $K$ で、すべて極大イデアル）。

$\mathbb{Q}[x]/(x^2+3)\cong K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$（$x^2+3$ は $\mathbb{Q}$ 上既約）。よって $A\cong K[y]/(y^3-1)$。$K$ は 1 の原始 3 乗根 $\omega =(-1+\sqrt{-3})/2$ を含むので、$y^3-1=(y-1)(y-\omega )(y-{\omega }^2)$ と $K$ 上で 1 次式に完全分解し、3 根は相異なる。中国剰余定理より $A\cong K\times K\times K$。この環の素イデアルは各成分で零イデアルを取るもの（体の直積なので極大イデアル＝素イデアル）の 3 個。確認: $y^3-1$ の判別式は $-27\ne 0$ なので重根なし。したがって素イデアルは $(x^2+3,y-1)$, $(x^2+3,y-\omega )$ に相当する $A$ の 3 個（$\mathbb{Q}[x,y]$ では $(x^2+3,y-1)$, $(x^2+3,y^2+y+1,x-(2y+1))$, $(x^2+3,y^2+y+1,x+(2y+1))$）。答え 3。