可換環論・ホモロジー代数の問題

方針. $A$ の極小素イデアル ${\mathfrak{p}}_i$ を求め、$\dim A={\max }_i\dim A/{\mathfrak{p}}_i$ を使う。各 $\dim A/{\mathfrak{p}}_i$ は対応する既約成分の次元（超越次数）である。

1. 極小素イデアルを求める. $I=(xy,xz)=x\cdot (y,z)$ である。零点集合は
$$V(I)=\{xy=0,xz=0\}=\{x=0\}\cup \{y=z=0\}$$
と分かれる（$x\ne 0$ なら $y=z=0$）。$(x)$ と $(y,z)$ はどちらも素イデアルで（剰余環が $\mathbb{C}[y,z,w]$, $\mathbb{C}[x,w]$ で整域）、互いに他を含まない。また $I=(x)\cap (y,z)$ であるので、$A$ の極小素イデアルは
$${\mathfrak{p}}_1=(x)/I,{\mathfrak{p}}_2=(y,z)/I$$
の $2$ 個である。

2. 各既約成分の次元.
- $A/{\mathfrak{p}}_1\cong \mathbb{C}[x,y,z,w]/(x)\cong \mathbb{C}[y,z,w]$。分数体の超越次数は $3$ なので次元 $3$。
- $A/{\mathfrak{p}}_2\cong \mathbb{C}[x,y,z,w]/(y,z)\cong \mathbb{C}[x,w]$。超越次数は $2$ なので次元 $2$。

3. まとめ.
$$\dim A=\max \{3,2\}=3.$$
（実際、$(x)⊊(x,y)⊊(x,y,z)⊊(x,y,z,w)$ を $I$ で割った長さ $3$ の素イデアルの鎖がある。）

$I=(xy,xz)=x\cdot (y,z)$。$(x)\cap (y,z)=(x)(y,z)$（$x$ が $(y,z)$ のどの生成元とも共通因子をもたず、$x$ が $\mathbb{C}[x,y,z,w]/(y,z)$ の非零因子であることから $x\in (y,z)$ の元との積と交わりが一致する。具体的に $f\in (x)\cap (y,z)$ なら $f=xg$, $xg\in (y,z)$、$(y,z)$ は素イデアルで $x\notin (y,z)$ より $g\in (y,z)$）ので $I=(x)\cap (y,z)$。

$I$ の根基は $I$ 自身で、極小素イデアルは $(x)$ と $(y,z)$。$\dim \mathbb{C}[x,y,z,w]/(x)=3$, $\dim \mathbb{C}[x,y,z,w]/(y,z)=2$。クルル次元は極小素イデアルでの次元の最大値なので $\dim A=\max (3,2)=3$。

検算: 幾何的には $A$ の零点集合は超平面 $\{x=0\}$（次元 3）と平面 $\{y=z=0\}$（次元 2）の和で、次元は 3。