クルル次元と素イデアルの高さ

素イデアルの鎖の長さとしてクルル次元を定め、次の 3 つを使ってクルル次元を求められる。 $dim k [x_{1}, \dots, x_{n}] / p$ は対応する既約成分の次元（超越次数）に等しい。 $dim A = max_{i} dim A / p_{i}$ （ $p_{i}$ は極小素イデアル）。 $dim R_{p} = ht p$ 。例: $C [x, y, z] / (x z, y z)$ やその局所化

前提

極小素イデアルと既約成分（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
局所化と素イデアルの対応（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

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算数中学高校大学大学院

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局所化と素イデアルの対応（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

説明

可換環の「大きさ」を、素イデアルを包含で何段つなげられるかで測るクルル次元と、1 つの素イデアルの「下に」何段つなげられるかを測る高さ $ht p$ を求める技能です。多項式環の剰余環では、零点集合を既約成分に分け、各成分の幾何的な次元（点は 0、曲線は 1、曲面は 2）の最大値をとれば次元が求まります。局所化 $A_{p}$ の次元は、点 $p$ を通る成分だけを見て求められます。

なぜそうしてよいのか

定義. 可換環 $A$ の素イデアルの鎖 $p_{0} ⊊ p_{1} ⊊ \dots ⊊ p_{n}$ の長さを $n$ （包含の段数）とし、長さの上限を $A$ のクルル次元 $dim A$ とします。素イデアル $p$ で終わる鎖 $p_{0} ⊊ \dots ⊊ p_{n} = p$ の長さの上限を $p$ の高さ $ht p$ とします。 $A = k [x_{1}, \dots, x_{n}] / I$ （ $k$ は体）では、素イデアルは零点集合の既約な部分に対応し、包含が逆向きになる（大きい素イデアルほど小さい図形）ので、鎖は「既約な図形を次元を 1 つずつ下げながら入れ子にする列」と思えます。

3 つの道具. (1) $p$ が $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ の素イデアルなら、 $dim k [x_{1}, \dots, x_{n}] / p$ は $V (p)$ の次元、すなわち分数体の $k$ 上の超越次数（代数的に独立にとれる座標関数の最大個数）に等しいことが知られています。例えば $dim k [x_{1}, \dots, x_{n}] = n$ 、平面 $k [x, y, z] / (x) ≅ k [y, z]$ は $2$ 、直線 $k [x, y, z] / (y, z) ≅ k [x]$ は $1$ です。(2) どの鎖でも最下段 $p_{0}$ はある極小素イデアル $p_{i}$ を含み、鎖全体が $A / p_{i}$ の素イデアルの鎖とみなせます（対応定理）。逆に $A / p_{i}$ の鎖は $A$ の鎖です。よって $dim A = max_{i} dim A / p_{i}$ 、つまり「一番大きい既約成分の次元」です。(3) $S = A ∖ p$ による局所化 $A_{p} = S^{- 1} A$ の素イデアルは、 $S$ と交わらない、すなわち $p$ に含まれる $A$ の素イデアルと包含を保って 1 対 1 に対応します。よって $A_{p}$ の鎖は $p$ 以下の鎖そのもので、 $dim A_{p} = ht p$ です。

高さの求め方. (2) と同じ理由で $ht p$ は、 $p$ に含まれる極小素イデアル $p_{i}$ （幾何的には点 $V (p)$ を含む既約成分）についての $A / p_{i}$ における $p / p_{i}$ の高さの最大値です。 $A / p_{i}$ が $k$ 上有限生成な整域のときは $ht (p / p_{i}) = dim A / p_{i} - dim A / p$ が成り立つことが知られており、 $p$ が極大イデアル（点）なら、 $p$ を通る成分の次元の最大値が高さになります。 $p$ を通らない成分は数に入りません。

手順

$A = k [x_{1}, \dots, x_{n}] / I$ の零点集合を既約成分に分け、極小素イデアル $p_{1}, \dots, p_{s}$ を求める
各成分の次元 $dim A / p_{i}$ を、超越次数（自由に動ける座標の個数）として求める。例: $k [x, y, z] / (x) ≅ k [y, z]$ なら $2$
$dim A = max_{i} dim A / p_{i}$ をとる
局所化 $A_{p}$ については、 $p$ に含まれる極小素イデアル（点 $V (p)$ を通る成分）だけを選ぶ。 $p_{i} \subset p$ は「 $p_{i}$ の生成元が $V (p)$ 上で $0$ になるか」で判定する
選んだ成分ごとに $dim A / p_{i} - dim A / p$ を計算し、その最大値を $ht p = dim A_{p}$ とする

例題

$A = C [x, y, z] / (x y, x z)$ 、 $p = (x - 1, y, z) / (x y, x z)$ とする。 $dim A$ と $dim A_{p}$ を、この順に組で求めよ。

例題の解答

手順 1. $(x y, x z) = x \cdot (y, z)$ より、零点集合は ${x = 0} \cup {y = z = 0}$ 。よって $(x y, x z) = (x) \cap (y, z)$ で、 $A$ の極小素イデアルは $p_{1} = (x)$ 、 $p_{2} = (y, z)$ （の像）。

手順 2. $A / p_{1} ≅ C [y, z]$ は平面で次元 $2$ 。 $A / p_{2} ≅ C [x]$ は直線で次元 $1$ 。

手順 3. $dim A = max (2, 1) = 2$ 。

手順 4. $V (p)$ は点 $(1, 0, 0)$ 。生成元 $x$ はこの点で $1 \neq = 0$ なので $p_{1} \neq \subset p$ （実際 $x \in p$ なら $1 = x - (x - 1) \in p$ となり矛盾）。生成元 $y, z$ はこの点で $0$ なので $p_{2} \subset p$ 。点を通る成分は直線 $y = z = 0$ だけ。

手順 5. $A / p$ は $C$ （点）で次元 $0$ なので、 $ht p = dim A / p_{2} - 0 = 1$ 。実際 $A / p_{2} ≅ C [x]$ の中で $(0) ⊊ (x - 1)$ が $p$ 以下の最長の鎖。よって $dim A_{p} = ht p = 1$ 。

答えは $(dim A, dim A_{p}) = (2, 1)$ 。

答え: $(2, 1)$

よくある誤り

「変数の個数 $-$ 式の個数」で次元を出す誤り。 $C [x, y, z] / (x y, x z)$ を $3 - 2 = 1$ としてしまう。正しくは既約成分が平面 $x = 0$ （次元 $2$ ）と直線 $y = z = 0$ （次元 $1$ ）で、 $dim A = max (2, 1) = 2$
成分の次元の最小値や合計、あるいは成分の個数を次元としてしまう誤り（上の例で $1$ や $3$ とする）。鎖は 1 つの極小素イデアルから始まり 1 つの成分の中に収まるので、正しくは各成分の次元の最大値 $dim A = max_{i} dim A / p_{i}$
局所化しても次元は変わらないと考え $dim A_{p} = dim A$ としてしまう誤り。上の例で $dim A_{p} = 2$ とするのは誤りで、平面 $x = 0$ は点 $(1, 0, 0)$ を通らないので数えず、正しくは $dim A_{p} = ht p = 1$ 。点 $(0, 0, 0)$ に対応する $q = (x, y, z)$ なら両方の成分を通り $ht q = 2$
高さ $ht p$ と剰余環の次元 $dim A / p$ を取り違える誤り。極大イデアル $p = (x - 1, y, z)$ について $dim A / p = 0$ を高さとしてしまう。正しくは高さは $p$ の「下」の鎖の長さで $ht p = 1$ 、 $dim A / p$ は「上」の鎖の長さで $0$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。複素数体 $C$ 上の 4 変数多項式環の剰余環 $A = C [x, y, z, w] / (x y, x z)$ のクルル次元 $dim A$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

局所環が整域・離散付値環になる判定（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
ヒルベルト・サミュエル関数と重複度（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）