可換環論・ホモロジー代数の問題

$S=\mathbb{Q}[x,y,z]$, $f=x^2+y^2-3$, $g=xy-1$, $I=(f,g)\subset \mathbb{Q}[x,y]$ とおく。$A=S/(zf,zg)$ である。

$A$ の極小素イデアル. $A$ の素イデアル $\mathfrak{P}$（$S$ の素イデアル $P\supseteq (zf,zg)$ に対応）について、$z\in P$ であるか、$z\notin P$ ならば $zf,zg\in P$ から $f,g\in P$ である。よって
$$V(zf,zg)=V(z)\cup V(f,g)(\text{Spec}S\text{の中で}).$$
極小素イデアルは、$(z)$ と、$IS=(f,g)S$ を含む極小な素イデアルの中から選ばれる。

$\mathbb{Q}[x,y]/I$ の構造. $f=0,g=0$ から $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=5$, $(x-y{)}^2=3-2=1$。よって $\overline{\mathbb{Q}}$ 上の解は
$$x+y=\epsilon \sqrt{5},x-y=\delta (\epsilon ,\delta \in \{\pm 1\})$$
の $4$ 点 $\left(\frac{\epsilon \sqrt{5}+\delta }{2},\frac{\epsilon \sqrt{5}-\delta }{2}\right)$ である。ヤコビ行列式は $\det \left(\begin{array}{cc}2x& 2y\\ y& x\end{array}\right)=2(x^2-y^2)=2(x+y)(x-y)=2\epsilon \delta \sqrt{5}\ne 0$ なので、各点で $f,g$ は横断的に交わり、ベズーの定理の $2\cdot 2=4$ と合わせて ${\dim }_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}[x,y]/I=4$ で $I$ は根基イデアル。$\mathbb{Q}[x,y]/I$ はアルティン環で、その極大イデアルは $4$ 点の $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 軌道に対応する。$\sqrt{5}\mapsto -\sqrt{5}$ により $\epsilon$ が入れかわり、$\delta$ は有理数なので固定される。よって軌道は $\delta =1$ のものと $\delta =-1$ のものの $2$ つで、
$$\mathbb{Q}[x,y]/I\cong \mathbb{Q}(\sqrt{5})\times \mathbb{Q}(\sqrt{5}).$$
具体的には極大イデアルは ${\mathfrak{m}}_{\pm }=(x-y\mp 1,(x+y{)}^2-5)$ の $2$ つ。

$S/IS$ の極小素イデアル. $S/IS\cong (\mathbb{Q}[x,y]/I)[z]\cong \mathbb{Q}(\sqrt{5})[z]\times \mathbb{Q}(\sqrt{5})[z]$ は 2 つの整域（次元 $1$）の直積なので、$IS$ を含む極小素イデアルは $P_{\pm }={\mathfrak{m}}_{\pm }S$ の $2$ つで、$S/P_{\pm }\cong \mathbb{Q}(\sqrt{5})[z]$ のクルル次元は $1$。

包含関係. $(z)$ は高さ $1$、$S/(z)\cong \mathbb{Q}[x,y]$ は次元 $2$。$P_{\pm }$ は高さ $2$ で $z\notin P_{\pm }$（$S/P_{\pm }\cong \mathbb{Q}(\sqrt{5})[z]$ で $z\ne 0$）なので $(z)⊈P_{\pm }$。また $P_{\pm }⊈(z)$（$x-y\mp 1\notin (z)$）。$P_{+}$ と $P_{-}$ も互いに含まない。よって $(zf,zg)$ を含む極小素イデアルは
$$(z),P_{+},P_{-}$$
の $3$ つで、$s=3$。

クルル次元. $A$ のクルル次元は極小素イデアルによる剰余環の次元の最大値なので
$$d=\max \{\dim \mathbb{Q}[x,y],\dim \mathbb{Q}(\sqrt{5})[z],\dim \mathbb{Q}(\sqrt{5})[z]\}=\max \{2,1,1\}=2.$$

したがって $(s,d)=(3,2)$。

$I=(z(x^2+y^2-3),z(xy-1))=z\cdot J$、$J=(x^2+y^2-3,xy-1)$ とおく。$I$ を含む素イデアルは $z\in P$ または $J\subseteq P$ のものである。したがって $\sqrt{I}=(z)\cap \sqrt{J}$ で、極小素イデアルは $(z)$ と $J$ の極小素イデアルのうち $(z)$ を含まないもの（$(z)$ に含まれないもの）から成る。

$J$ について: $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=5$、$(x-y{)}^2=x^2+y^2-2xy=1$ が $J$ の元から導かれる（$x^2+y^2-3+2(xy-1)=(x+y{)}^2-5$ など）。逆に $x+y=\pm \sqrt{5}$、$x-y=\pm 1$ のとき $x^2+y^2=3$、$xy=1$ となる。よって $\overline{\mathbb{Q}}$ 上で $V(J)\subset {\mathbb{A}}^2$ は相異なる 4 点
$(x,y)=\left(\frac{\pm \sqrt{5}\pm 1}{2},\frac{\pm \sqrt{5}\mp 1}{2}\right)$（$x-y=\pm 1$ は $x+y$ の符号と独立）
で、$J$ は $\mathbb{Q}[x,y]$ で次数 4 の 0 次元イデアル（ベズー: 2 次×2 次 = 4 点、重複なし）。

$\mathbb{Q}$ 上の素イデアルはガロア共役の軌道に対応する。$\sqrt{5}\mapsto -\sqrt{5}$ は $x-y$ を変えず $x+y$ の符号を変えるので、軌道は
・$x-y=1$ の 2 点: $(x-1,\dots )$、すなわち $P_1=(x-y-1,y^2+y-1)$
・$x-y=-1$ の 2 点: $P_2=(x-y+1,y^2-y-1)$
の 2 つ（$y^2\pm y-1$ は $\mathbb{Q}$ 上既約）。

$\mathbb{Q}[x,y,z]$ では $P_1\mathbb{Q}[x,y,z]$、$P_2\mathbb{Q}[x,y,z]$ が素イデアル（高さ 2、$z$ 軸に平行な直線の和に対応、次元 1）。これらは $z\notin P_i$ なので $(z)$ を含まず、また $(z)$ は $P_i$ を含まない（$(z)$ は高さ 1、$P_i$ は高さ 2 で $z\notin P_i$ ゆえ $P_i⊉(z)$、かつ $(z)⊉P_i$ は $x-y-1\notin (z)$ から）。よって包含関係はなく、極小素イデアルは $(z),P_1,P_2$ の 3 個。$s=3$。

クルル次元: $A/(z)\cong \mathbb{Q}[x,y]$ は次元 2、$A/P_i$ は次元 1。よって $d=2$。

答え: $(s,d)=(3,2)$。