極小素イデアルと既約成分

$I = (z (x^{2} + y^{2} - 3), z (x y - 1))$ のようなイデアルの零点集合を既約成分に分けられる。 $I = p_{1} \cap \dots \cap p_{s}$ と表し、剰余環の極小素イデアルの個数を求められる（有理数体上ではガロア共役な点をまとめて 1 つの素イデアルとする）

前提

剰余環の素イデアル（対応定理）（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

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算数中学高校大学大学院

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剰余環の素イデアル（対応定理）（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

説明

多項式環のイデアル $I$ の零点集合は、いくつかの「これ以上分けられない」図形（既約成分）の和集合に分かれます。代数の側では、これは根基 $I$ を、 $I$ を含む素イデアルのうち極小なもの（極小素イデアル）の共通部分 $I = p_{1} \cap \dots \cap p_{s}$ として書くことにあたります。対応定理により、この $p_{i}$ の個数が剰余環 $R / I$ の極小素イデアルの個数です。 $I = (z g_{1}, z g_{2})$ のような共通因子をもつイデアルでは、共通因子の部分と残りの部分に分けて調べれば求まります。環は単位元をもつ可換環とします。

なぜそうしてよいのか

用語を定めます。 $I = {f ∣ ある k \geq 1 で f^{k} \in I}$ を $I$ の根基といい、 $I$ を含む素イデアルのうち、それより真に小さい「 $I$ を含む素イデアル」をもたないものを $I$ の極小素イデアルといいます。素イデアル $p$ は $f^{k} \in p \Rightarrow f \in p$ を満たす（ $f \cdot f^{k - 1} \in p$ からくり返し）ので $p = p$ であり、素イデアルの共通部分 $p_{1} \cap \dots \cap p_{s}$ もつねに自分自身の根基に等しくなります。対応定理より $R / I$ の素イデアルは $I$ を含む $R$ の素イデアルと包含関係を保って対応するので、 $R / I$ の極小素イデアルは $I$ の極小素イデアルと 1 対 1 に対応します。

$I = (z g_{1}, z g_{2}) = z \cdot J$ （ $J = (g_{1}, g_{2})$ 、 $(z)$ は素イデアル）の形を考えます。素イデアル $P$ が $I$ を含むとき、 $J \neq \subseteq P$ なら $j \in J ∖ P$ をとると $z j \in I \subseteq P$ から $z \in P$ です。逆に $z \in P$ または $J \subseteq P$ なら $P \supseteq z J = I$ です。つまり「 $P \supseteq I$ $⟺$ $z \in P$ または $P \supseteq J$ 」です。したがって $I$ を含む素イデアルは $(z)$ を含むものと $J$ を含むものに分かれ、 $I$ の極小素イデアルは「 $(z)$ と $J$ の極小素イデアルたち」の中で、ほかのものを真に含むものを除いた残りです。

さらに $I = (z) \cap J$ が成り立ちます。 $f \in (z) \cap J$ なら $f^{k} \in J$ となる $k$ があり、 $f^{k + 1} = f \cdot f^{k} \in (z) J = I$ なので $f \in I$ です。逆に $f \in I$ なら $f^{k} \in I$ となる $k$ があり、 $I \subseteq (z)$ と $(z)$ が素イデアルであることから $f \in (z)$ 、また $I \subseteq J$ から $f^{k} \in J$ で $f \in J$ です。特に $J$ が素イデアルなら $J = J$ で $I = (z) \cap J$ となります。

$J$ の部分は、 $J$ の中で変数を消去して 1 変数の多項式を作り、それを因数分解して調べます。 $Q$ 上で考えるとき、1 変数の既約多項式 $h (x)$ の根は複素数では $de g h$ 個の別々の値になりますが、 $Q [x] / (h)$ は 1 つの体なので、それらのガロア共役な点（成分）はまとめて 1 つの素イデアルになります。図形としては、複素数の零点集合 $V (I) = V (z) \cup V (J)$ のうち、共役で移り合う成分をまとめたものが $Q$ 上の既約成分です。

手順

共通因子をくくり出して $I = z \cdot J$ と書き、 $I$ を含む素イデアルは $(z)$ を含むか $J$ を含むかのどちらかだと確認する
$(z)$ が素イデアルであることを確認する（ $Q [x, y, z] / (z) ≅ Q [x, y]$ は整域）
$J$ の生成元から変数を消去して 1 変数多項式 $h (x) \in J$ を作り、残りの変数を $x$ の式で表して $J$ を簡単な生成元に書き直す
$h$ を $Q$ 上で既約因子に分け、各既約因子ごとに剰余環が「体上の多項式環」になることを示して $J$ の極小素イデアルを求める（共役な根は 1 つにまとまる）
$(z)$ と $J$ の極小素イデアルを並べ、ほかを真に含むものを除く。残ったものの個数が $R / I$ の極小素イデアルの個数で、 $I = (z) \cap J$ はそれらの共通部分

例題

$R = Q [x, y, z]$ 、 $I = (z (x^{2} + y^{2} - 4), z (x y - 1))$ とする。剰余環 $R / I$ の極小素イデアルの個数を求めよ。

例題の解答

手順 1: $I = z \cdot J$ 、 $J = (x^{2} + y^{2} - 4, x y - 1)$ です。 $I$ を含む素イデアルは $z$ を含むか $J$ を含みます。

手順 2: $R / (z) ≅ Q [x, y]$ は整域なので $(z)$ は素イデアルです。

手順 3: $x^{2} (x^{2} + y^{2} - 4) = x^{4} + (x y)^{2} - 4 x^{2}$ と $(x y)^{2} - 1 = (x y - 1) (x y + 1) \in J$ より $h (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1 \in J$ 。さらに $y \cdot h (x) = x^{3} (x y) - 4 x (x y) + y \equiv x^{3} - 4 x + y$ なので $y - 4 x + x^{3} \in J$ 。逆にこの 2 つから $x y - 1 = x (y - 4 x + x^{3}) - h (x)$ 、また $y \equiv 4 x - x^{3}$ を代入して $x^{2} + y^{2} - 4 \equiv x^{6} - 8 x^{4} + 17 x^{2} - 4 = (x^{2} - 4) h (x)$ が出るので
$J = (x^{4} - 4 x^{2} + 1, y - 4 x + x^{3}) .$

手順 4: $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ は $Q$ 上既約です（ $\pm 1$ は根でないので 1 次の因子はなく、 $(x^{2} + a x + b) (x^{2} - a x + c)$ （ $a, b, c \in Q$ ）と置くと $a (c - b) = 0$ 、 $b c = 1$ 、 $b + c - a^{2} = - 4$ で、 $a = 0$ なら $b, c = - 2 \pm 3$ 、 $b = c = \pm 1$ なら $a^{2} = 6$ または $2$ となり、どれも有理数にならない）。よって $K = Q [x] / (x^{4} - 4 x^{2} + 1)$ は体で、 $R / J ≅ Q [x, z] / (x^{4} - 4 x^{2} + 1) ≅ K [z]$ は整域なので $J$ 自身が素イデアルです。複素数では $x = \pm 2 \pm 3$ に対応する 4 本の直線に分かれますが、これらは互いにガロア共役なので $Q$ 上では 1 つにまとまります。

手順 5: 候補は $(z)$ と $J$ です。 $R / J ≅ K [z]$ で $z$ の像は $0$ でないので $z \in / J$ 、また $x^{4} - 4 x^{2} + 1 \in / (z)$ なので $J \neq \subseteq (z)$ 。互いに含まないので、どちらも極小です。よって $I = (z) \cap J$ で、極小素イデアルは 2 個です。

答え: $2$

よくある誤り

複素数での成分を数えてしまう誤り。上の例で $z = 0$ の平面と 4 本の直線を合わせて $5$ とする。正しくは $Q$ 上では共役な 4 本が 1 つの素イデアル $J = (x^{4} - 4 x^{2} + 1, y - 4 x + x^{3})$ にまとまり、答えは $2$ 。
共通因子 $z$ の部分を忘れて $J$ の極小素イデアルだけを数えてしまう誤り。 $I = z J$ を含む素イデアルには $(z)$ もあるので、 $I = (z) \cap J$ のように $(z)$ も加える。
ほかの候補を真に含む素イデアルも極小として数えてしまう誤り。例えば $I = (z x, z y)$ に対し、 $(z)$ 、 $(x, y)$ のほかに $(x, y, z)$ も数える。正しくは $(x, y, z) ⊋ (z)$ なので極小ではなく、極小素イデアルは $(z)$ と $(x, y)$ の 2 個。
$I$ を $I$ 自身と取り違え、因子 $z^{2}$ をそのまま重複度 2 として数えてしまう誤り。例えば $I = (z^{2} (x - 1))$ で極小素イデアルを $(z)$ が 2 個と $(x - 1)$ の計 3 個とする。正しくは $z \in I$ ではないが $(z (x - 1))^{2} \in I$ なので $I = (z) \cap (x - 1) = (z (x - 1))$ で、極小素イデアルは $(z)$ と $(x - 1)$ の 2 個（重複度は数えない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。有理数体 $Q$ 上の 2 変数多項式環の剰余環 $A = Q [x, y] / (y (x - 1), y (y - 3) (y^{2} - 2))$ の極小素イデアルの個数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

クルル次元と素イデアルの高さ（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）