可換環論・ホモロジー代数の問題

1. $A$ の極小素イデアル. $\mathbb{Q}$ 上で
$$x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$
と既約分解され、各因子は原始的なので $\mathbb{Z}[x]$ の素元である。$f_1=x-1,f_2=x+1,f_3=x^2+x+1,f_4=x^2-x+1$ とおく。$\mathbb{Z}[x]$ は UFD で $x^6-1$ は相異なる素元の積なので $(x^6-1)$ は根基イデアル、すなわち $A$ は被約である。$A$ の極小素イデアルは $(f_1),(f_2),(f_3),(f_4)$ の像の $4$ 個である。

2. $A_P$ が整域になる条件. $A_P$ は被約であり、その極小素イデアルは $P$ に含まれる $A$ の極小素イデアルと一対一に対応する。
- $P$ がちょうど $1$ つの極小素イデアルを含むとき、$A_P$ の冪零根基（$=0$）はただ $1$ つの極小素イデアルに等しいので $0$ は素イデアルとなり、$A_P$ は整域。
- $P$ が $2$ つ以上の極小素イデアルを含むとき、$A_P$ は相異なる極小素イデアルを $2$ つ以上もつので整域でない（整域の極小素イデアルは $0$ のみ）。

よって、2 つ以上の $f_i$ を含む $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアル（の像）を数えればよい。

3. $f_i,f_j(i\ne j)$ を同時に含む素イデアル. $f_i$ は原始的なので、$f_i$ を含む高さ $1$ の素イデアルは $(f_i)$ だけである。したがって $f_i,f_j$ を両方含む素イデアルは高さ $2$、すなわち極大イデアル $(p,g)$（$p$ は素数、$g$ は ${\mathbb{F}}_p[x]$ の既約多項式の持ち上げ）であり、$g$ が $\mathrm{mod}p$ で $f_i,f_j$ の両方を割ることが条件である。

• $p\ge 5$ のとき、$x^6-1$ は ${\mathbb{F}}_p$ 上で分離的（導関数 $6x^5$ と互いに素）なので、$f_1,\dots ,f_4$ の $\mathrm{mod}p$ の像は互いに素であり、共通の既約因子はない。
• $p=2$ のとき、$f_1\equiv f_2\equiv x+1$、$f_3\equiv f_4\equiv x^2+x+1$（${\mathbb{F}}_2$ 上既約）であり、$x+1$ と $x^2+x+1$ は互いに素。よって $(2,x+1)$（$f_1,f_2$ を含む）と $(2,x^2+x+1)$（$f_3,f_4$ を含む）の $2$ 個。
• $p=3$ のとき、$x^6-1\equiv (x-1{)}^3(x+1{)}^3$、$f_3\equiv (x-1{)}^2$、$f_4\equiv (x+1{)}^2$ である。よって $(3,x-1)$（$f_1,f_3$ を含む）と $(3,x+1)$（$f_2,f_4$ を含む）の $2$ 個。

以上の $4$ 個の極大イデアルはすべて $(x^6-1)$ を含むので $A$ の素イデアルを与える。

したがって $A_P$ が整域でない素イデアル $P$ の個数は $4$ である。

$A=\mathbb{Z}[x]/(x^6-1)$、$x^6-1={\Phi }_1{\Phi }_2{\Phi }_3{\Phi }_6$（${\Phi }_1=x-1,{\Phi }_2=x+1,{\Phi }_3=x^2+x+1,{\Phi }_6=x^2-x+1$）。$A$ は被約で、極小素イデアルは $({\Phi }_d)$ ($d=1,2,3,6$) の 4 個（各 $\mathbb{Z}[x]/({\Phi }_d)$ は整域）。

$A_P$ は被約なので、$A_P$ が整域であることは $P$ がちょうど 1 つの極小素イデアルを含むことと同値。したがって求める素イデアルは、2 個以上の極小素イデアルを含む $P$、すなわち $V({\Phi }_a,{\Phi }_b)$ ($a\ne b$) に属する素イデアル。

各組で $\mathbb{Z}[x]/({\Phi }_a,{\Phi }_b)$ を調べる:
- $({\Phi }_1,{\Phi }_2)$: $x=1$ かつ $x=-1$ より $2=0$。$\mathbb{Z}[x]/(x-1,2)={\mathbb{F}}_2$。素イデアル $(2,x-1)$。
- $({\Phi }_1,{\Phi }_3)$: $x=1$ で ${\Phi }_3=3$。素イデアル $(3,x-1)$。
- $({\Phi }_1,{\Phi }_6)$: ${\Phi }_6(1)=1$。なし。
- $({\Phi }_2,{\Phi }_3)$: ${\Phi }_3(-1)=1$。なし。
- $({\Phi }_2,{\Phi }_6)$: ${\Phi }_6(-1)=3$。素イデアル $(3,x+1)$。
- $({\Phi }_3,{\Phi }_6)$: 差が $2x$ で、$x^3=1$ より $x$ は単元なので $2$ を含む。${\mathbb{F}}_2$ 上 ${\Phi }_3={\Phi }_6=x^2+x+1$（既約）。素イデアル $(2,x^2+x+1)$。

これら 4 個は互いに異なる（剰余体の標数と $x$ の像が異なる）。例えば $(2,x-1)$ では ${\Phi }_3(1)=1\ne 0$ なので他の組には現れない。

答えは 4 個。

検算: 各素イデアルについて含まれる極小素イデアルの数を確認: $(2,x-1)\supset {\Phi }_1,{\Phi }_2$; $(3,x-1)\supset {\Phi }_1,{\Phi }_3$; $(3,x+1)\supset {\Phi }_2,{\Phi }_6$; $(2,x^2+x+1)\supset {\Phi }_3,{\Phi }_6$。いずれも 2 個以上。