可換環論・ホモロジー代数の問題

ステップ 1：中国剰余定理で $100=4\cdot 25$ に分ける。 $(4)+(25)=\mathbb{Z}$ なので $$A\cong B\times C,B=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]/(x^2+1),C=(\mathbb{Z}/25\mathbb{Z})[x]/(x^2+1).$$

ステップ 2：$C$ をさらに分ける。 $\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ で $7^2=49\equiv -1$ なので $$x^2+1=(x-7)(x+7)(\text{in }(\mathbb{Z}/25\mathbb{Z})[x]).$$ $(x+7)-(x-7)=14$ は $\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ の単数（$5\nmid 14$）なので $(x-7)+(x+7)$ は単位イデアルであり、中国剰余定理より $$C\cong (\mathbb{Z}/25\mathbb{Z})[x]/(x-7)\times (\mathbb{Z}/25\mathbb{Z})[x]/(x+7)\cong \mathbb{Z}/25\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/25\mathbb{Z}.$$ ここで第 1 成分は $x\mapsto 7$、第 2 成分は $x\mapsto -7=18$ で与えられる。

よって $$A\cong B\times \mathbb{Z}/25\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/25\mathbb{Z}.$$

ステップ 3：$P$ がどの成分の素イデアルかを調べる。 直積環 $A_1\times A_2\times A_3$ の素イデアルは、ある 1 つの成分 $A_i$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ について、その成分を $\mathfrak{q}$ に、他の成分を全体に置きかえた形をしている。$P$ は $5$ を含むので、$5$ が単数である $B$（$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 上の環）の成分は全体になる。$\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ の素イデアルは $5\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ だけで、
- 第 1 成分（$x\mapsto 7$）で $x-2\mapsto 5$：$5\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ に属する。
- 第 2 成分（$x\mapsto 18$）で $x-2\mapsto 16$：単数なので、$P$ の像は全体。

したがって $P$ は第 1 の $\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ 成分の素イデアル $5\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ に対応する（他の成分は全体）。

ステップ 4：局所化を計算する。 直積 $A_1\times A_2\times A_3$ を、第 $i$ 成分の素イデアル $\mathfrak{q}$ から来る素イデアルで局所化すると、冪等元 $e_i$（第 $i$ 成分だけ $1$）が $P$ に属さず、$e_j$（$j\ne i$）は $e_i{e}_j=0$ より局所化で $0$ になるので、$(A_i{)}_{\mathfrak{q}}$ と同型になる。$\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ は唯一の極大イデアル $5\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ をもつ局所環で、その外の元はすべて単数だから、局所化しても変わらない。よって $$A_P\cong \mathbb{Z}/25\mathbb{Z},|A_P|=25.$$

$\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{Z}[i]$ なので $A\cong \mathbb{Z}[i]/(100)$。$\mathbb{Z}[i]$ は PID で、$100=2^2\cdot 5^2=-i(1+i{)}^4\cdot ((2+i)(2-i){)}^2$ と素因数分解される。$(1+i)$、$(2+i)$、$(2-i)$ は互いに素なイデアルなので、中国剰余定理より\n$$A\cong \mathbb{Z}[i]/(1+i{)}^4\times \mathbb{Z}[i]/(2+i{)}^2\times \mathbb{Z}[i]/(2-i{)}^2.$$\n\n$P=(5,x-2)$ は $x\mapsto i$ で $(5,i-2)$ に対応する。$i-2=-(2-i)$ であり、$5=(2+i)(2-i)\in (2-i)$ なので $P=(2-i)A$。これは $\mathbb{Z}[i]/(2-i)\cong {\mathbb{F}}_5$（$i\mapsto 2$、$2^2+1=5=0$）に対応する素イデアル。\n\n局所化 $A_P$ は、上の直積分解のうち $P$ を含む成分だけを残す（他の成分では $P$ に対応する元が単元になる、あるいは $P$ がその成分に現れない）。$P$ は第 3 成分 $\mathbb{Z}[i]/(2-i{)}^2$ の極大イデアルであり、この成分は局所環なのでそれ自身が $A_P$ になる。\n$$A_P\cong \mathbb{Z}[i]/(2-i{)}^2.$$\nこの環の元の個数は $N(2-i{)}^2=5^2=25$（剰余体 ${\mathbb{F}}_5$ 上で長さ 2 の環なので $5^2$）。\n\n検算: $\mathbb{Z}[i]/(2-i{)}^2$ は $\mathbb{Z}[i]/(2-i{)}^2$ の元を $a+b(2-i)$（$a,b\in \{0,\dots ,4\}$）と一意に表せるので 25 個。