可換環論・ホモロジー代数の問題

方針. $S^{-1}A$ の素イデアルは、$S$ と交わらない $A$ の素イデアルと 1 対 1 に対応する。さらに $A=\mathbb{Z}[x]/(x^3-1)$ の素イデアルは $x^3-1$ を含む $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアル $P$ と対応する。$P$ が $S$ と交わらないことは、$P\cap \mathbb{Z}\subset 7\mathbb{Z}$、すなわち $P\cap \mathbb{Z}=(0)$ または $(7)$ であることと同じである（$P\cap \mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の素イデアルだから $(0)$ か $(p)$ の形で、$(p)\subset 7\mathbb{Z}$ となるのは $p=7$ のとき）。

1. $P\cap \mathbb{Z}=(0)$ のもの. $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルの分類より、これは $(0)$ か $(f)$（$f$ は $\mathbb{Z}$ 上既約）である。$x^3-1\in P$ なので $P=(f)$ で $f$ は $x^3-1$ の既約因子。
$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$
で、$x^2+x+1$ は判別式 $-3<0$ より有理数の根をもたず $\mathbb{Q}$ 上既約。よって $(x-1)$, $(x^2+x+1)$ の $2$ 個。

2. $P\cap \mathbb{Z}=(7)$ のもの. $(7)$ 自身は $x^3-1$ を含まないので、$P=(7,g)$（$g$ は ${\mathbb{F}}_7$ 上既約で $x^3-1$ を割り切るモニック多項式）である。${\mathbb{F}}_7$ で
$$1^3=1,2^3=8\equiv 1,4^3=64\equiv 1(\mathrm{mod}7)$$
より $x^3-1\equiv (x-1)(x-2)(x-4)(\mathrm{mod}7)$。したがって $(7,x-1)$, $(7,x-2)$, $(7,x-4)$ の $3$ 個。

3. まとめ. $S$ と交わらない $A$ の素イデアルは $2+3=5$ 個なので、$S^{-1}A$ の素イデアルの個数は $5$。

$S^{-1}A$ の素イデアルは、$A$ の素イデアル $P$ で $P\cap \mathbb{Z}$ が $S$ と交わらないもの、すなわち $P\cap \mathbb{Z}\subset 7\mathbb{Z}$ となるものと一対一に対応する。$\mathbb{Z}$ の素イデアルは $(0)$ または $(p)$ なので、$P\cap \mathbb{Z}=(0)$ または $(7)$ の場合を数える。

(i) $P\cap \mathbb{Z}=(0)$: これは $A\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[x]/(x^3-1)$ の素イデアルに対応する（$A$ は $\mathbb{Z}$ 上平坦・有限生成なので $\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ による局所化と対応）。$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ は $\mathbb{Q}$ 上で既約分解され、$\mathbb{Q}[x]/(x^3-1)\cong \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}({\zeta }_3)$ なので素イデアルは 2 個。

(ii) $P\cap \mathbb{Z}=(7)$: $A/7A={\mathbb{F}}_7[x]/(x^3-1)$ の素イデアルに対応する。$7\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので ${\mathbb{F}}_7$ に 1 の原始 3 乗根（$2,4$）があり、$x^3-1=(x-1)(x-2)(x-4)$。よって ${\mathbb{F}}_7[x]/(x^3-1)\cong {\mathbb{F}}_7^3$ で素イデアルは 3 個（すべて極大）。

合計 $2+3=5$ 個。

検算: $S^{-1}A={\mathbb{Z}}_{(7)}[x]/(x^3-1)$。${\mathbb{Z}}_{(7)}$ 上 $x^3-1$ は $x-1,x-2,x-4$ に分解し（ヘンゼルではなく局所化のみなので、${\mathbb{Z}}_{(7)}$ では $x-1$ と $x^2+x+1$ に分かれるのみ）、閉点が 3 つ、一般点が 2 つで合計 5。