可換環論・ホモロジー代数の問題

方針. 対応定理により、$R=\mathbb{Z}[x]/(35,x^3-1)$ の素イデアルは、イデアル $(35,x^3-1)$ を含む $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルと 1 対 1 に対応する。これを数えるために、$R$ を素数ごとの成分に分解する。

手順 1: 中国剰余定理で分解する. $35=5\cdot 7$ は平方因子をもたないので
$$R\cong {\mathbb{F}}_5[x]/(x^3-1)\times {\mathbb{F}}_7[x]/(x^3-1).$$
有限個の環の直積 $A\times B$ の素イデアルは $\mathfrak{p}\times B$（$\mathfrak{p}$ は $A$ の素イデアル）または $A\times \mathfrak{q}$（$\mathfrak{q}$ は $B$ の素イデアル）の形のものに限るので、各成分の素イデアルの個数を足せばよい。

手順 2: ${\mathbb{F}}_p[x]/(f)$ の素イデアル. 再び対応定理により、${\mathbb{F}}_p[x]/(f)$ の素イデアルは $(f)$ を含む ${\mathbb{F}}_p[x]$ の素イデアル、すなわち $f$ のモニック既約因子 $g$ による $(g)$ と 1 対 1 に対応する（${\mathbb{F}}_p[x]$ は単項イデアル整域で、$(0)$ は $(f)$ を含まない）。よって個数は $f$ の相異なるモニック既約因子の個数である。

手順 3: $p=5$ のとき. $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$。$x^2+x+1$ に $x=0,1,2,3,4$ を代入すると、値は $1,3,7,13,21$、すなわち $5$ を法として $1,3,2,3,1$ で、どれも $0$ でない。2 次式が根をもたないので $x^2+x+1$ は ${\mathbb{F}}_5$ 上既約。したがって既約因子は $x-1,x^2+x+1$ の 2 個で、素イデアルは 2 個。

手順 4: $p=7$ のとき. $2^3=8\equiv 1$、$4^3=64\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ なので、$1,2,4$ はすべて $x^3-1$ の根であり、
$$x^3-1=(x-1)(x-2)(x-4)({\mathbb{F}}_7[x]\text{ において})$$
と相異なる 1 次式に分解する。素イデアルは 3 個。

手順 5: 合計. $R$ の素イデアルの個数は $2+3=5$。（$R$ は有限環なので、これらはすべて極大イデアルでもある。）

答えは $5$ である。

$R$ の素イデアルは $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルで $35$ と $x^3-1$ を含むものと対応する。素イデアルが $35=5\cdot 7$ を含むので $5$ か $7$ のどちらか一方を含む（両方は含めない。両方含むと $1$ を含み全体になる）。\n\n(1) $5$ を含むもの: $R/(5)\cong {\mathbb{F}}_5[x]/(x^3-1)$。$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$。${\mathbb{F}}_5$ で $x^2+x+1$ の判別式は $-3\equiv 2$ で、平方数は $0,1,4$ なので平方非剰余。よって既約。したがって既約因子は 2 個で、素イデアルは 2 個（${\mathbb{F}}_5[x]/(x^3-1)$ は ${\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_{25}$ と同型）。\n\n(2) $7$ を含むもの: $R/(7)\cong {\mathbb{F}}_7[x]/(x^3-1)$。${\mathbb{F}}_7$ で $-3\equiv 4=2^2$ は平方数なので $x^2+x+1$ は分解する。実際 $x=2,4$ が根（$2^3=8\equiv 1$, $4^3=64\equiv 1$）で $x^3-1=(x-1)(x-2)(x-4)$。素イデアルは 3 個（${\mathbb{F}}_7^3$ と同型）。\n\n合計 $2+3=5$。確認: 有限環 $R$ は $R/(5)\times R/(7)$ と同型（$35$ で中国剰余定理）、${\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_{25}\times {\mathbb{F}}_7^3$ の素イデアルは各成分の零イデアルに対応する直積因子の個数 $2+3=5$ 個。