可換環論・ホモロジー代数の問題

$R\cong (\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})[x]/(x^2+1)$ である。中国剰余定理より $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\cong {\mathbb{F}}_3\times {\mathbb{F}}_5$ なので
$$R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)\times {\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+1).$$

• ${\mathbb{F}}_3$ では $0^2+1=1$, $1^2+1=2$, $2^2+1=5\equiv 2$ で根がないので、$x^2+1$ は既約であり ${\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)\cong {\mathbb{F}}_9$（体）。
• ${\mathbb{F}}_5$ では $2^2+1=5\equiv 0$ より $x^2+1=(x-2)(x+2)$ で、$x-2$ と $x+2$ は互いに素だから、中国剰余定理より ${\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+1)\cong {\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_5$。

よって $R\cong {\mathbb{F}}_9\times {\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_5$ である。有限個の体の直積 $K_1\times \cdots \times K_n$ の素イデアルは、ある 1 つの成分を $0$ にしたもの $K_1\times \cdots \times 0\times \cdots \times K_n$ に限る（直積の素イデアルは冪等元 $e_i$ のうち 1 つを除いてすべてを含むため）。したがって素イデアルの個数は $3$ である。

$15=3\cdot 5$ なので $R=\mathbb{Z}[x]/(15,x^2+1)\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)\times {\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+1)$（中国剰余定理）。

• ${\mathbb{F}}_3$ では $x^2+1$ は既約（$-1$ は mod 3 で平方非剰余）なので第 1 成分は体 ${\mathbb{F}}_9$。素イデアルは $(0)$ の 1 個。
• ${\mathbb{F}}_5$ では $x^2+1=(x-2)(x+2)$（$2^2=4\equiv -1$）で、${\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+1)\cong {\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_5$。素イデアルは 2 個。

よって $R\cong {\mathbb{F}}_9\times {\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_5$。体の有限直積の素イデアルは成分の個数に等しいので 3 個。

検算: $|R|=9\cdot 25=225=15^2$ で、$\mathbb{Z}[x]/(15,x^2+1)$ の位数 $15^2$ と一致。