可換環論・ホモロジー代数の問題

1. $R$ の構造. $x^2-45$ は $\mathbb{Q}$ 上既約（$45$ は平方数でない）で原始的なので、$R\cong \mathbb{Z}[3\sqrt{5}]$ は整域で、クルル次元 $1$ のネーター環である。$K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の整数環は $\mathcal{O}=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$（$5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$）であり、
$$6\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}=3+3\sqrt{5}\in R$$
より $6\mathcal{O}\subseteq R$ である。

2. $P\cap \mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ で $p\ne 2,3$ のとき. $6\notin P$ なので $6$ は $R_P$ の単元である。任意の $y\in \mathcal{O}$ について $6y\in R$ より $y=6y/6\in R_P$。よって $R_P\supseteq \mathcal{O}$ であり、$R_P$ は $\mathcal{O}$ の局所化（$\mathcal{O}$ のある素イデアルでの局所化）と一致する。デデキント環の $0$ でない素イデアルでの局所化なので $R_P$ は離散付値環である。

3. $p=3$ のとき. $R/3R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)$ なので、$3$ を含む素イデアルは $P=(3,x)$ のみ。$R_P$ が離散付値環であることと、${\dim }_{R/P}P/P^2=1$ は同値である（$1$ 次元ネーター局所整域が正則 $\iff$ 離散付値環）。
$P^2=(9,3x,x^2)=(9,3x,45)=(9,3x)$ なので
$$R/P^2\cong \mathbb{Z}[x]/(9,3x,x^2)$$
は $a+bx(a\in \mathbb{Z}/9,b\in \mathbb{Z}/3)$ の $27$ 個の元からなる。$|R/P|=3$ より $|P/P^2|=9$、すなわち ${\dim }_{{\mathbb{F}}_3}P/P^2=2$。よって $R_P$ は離散付値環でない。

4. $p=2$ のとき. $R/2R\cong {\mathbb{F}}_2[x]/(x^2-1)={\mathbb{F}}_2[x]/((x+1{)}^2)$ なので、$2$ を含む素イデアルは $P=(2,x+1)$ のみ。$t=x+1$ とおくと $x^2-45=t^2-2t-44$。
$P^2=(4,2t,t^2)$ で、$t^2=2t+44\in (4,2t)$ なので $P^2=(4,2t)$。よって
$$R/P^2\cong \mathbb{Z}[t]/(4,2t,t^2)$$
は $a+bt(a\in \mathbb{Z}/4,b\in \mathbb{Z}/2)$ の $8$ 個の元からなり、$|R/P|=2$ より $|P/P^2|=4$、${\dim }_{{\mathbb{F}}_2}P/P^2=2$。よって $R_P$ は離散付値環でない。

以上より、条件を満たす素イデアルは $(2,x+1)$ と $(3,x)$ の $2$ 個である。

$R=\mathbb{Z}[x]/(x^2-45)\cong \mathbb{Z}[3\sqrt{5}]$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の整環で、整数環 $O=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$ に対し $R=\mathbb{Z}+6O$（導手 $6O$、指数 6）。$R$ は 1 次元ネーター整域で、$0$ でない素イデアルはすべて極大。$R_P$ が離散付値環であることは $R_P$ が整閉であることと同値で、それは $P$ が導手 $6O$ を含まないことと同値。よって $P\ni 2$ または $P\ni 3$ の素イデアルを数える。

$R/2R={\mathbb{F}}_2[x]/(x^2-1)={\mathbb{F}}_2[x]/(x-1{)}^2$ より $2$ の上の素イデアルは $(2,x-1)$ の 1 個。$R/3R={\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)$ より $3$ の上の素イデアルは $(3,x)$ の 1 個。

いずれも導手を含む: $6O$ は $\mathbb{Z}$ 上 $6$ と $6\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}=3+x$ で生成され、$(2,x-1)$ では $3+x\equiv 0$、$(3,x)$ では $3+x\in (3,x)$。

検算: $2$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ で惰性し（$O/2O={\mathbb{F}}_4$）、$R$ の 2 上の素イデアルの剰余体は ${\mathbb{F}}_2$ なので $R_P$ は整閉でない。$3$ も惰性（$5$ が mod 3 で非平方）し、$O/3O={\mathbb{F}}_9$ に対し $R/P={\mathbb{F}}_3$ で整閉でない。他の素数 $p$ の上では $p\nmid 6$ なので正則（離散付値環）。

答え: $2$ 個。