$\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルの分類

準備（原始的な多項式）. 係数の最大公約数が $1$ の整数係数多項式を原始的と呼び、$0$ でない $h\in \mathbb{Z}[x]$ の係数の最大公約数（正にとる）を $c(h)$ と書きます。$h=c(h)h_0$ と書くと $h_0$ は原始的です。
(a) 原始的な多項式の積は原始的です。実際、素数 $p$ が $fg$ のすべての係数を割るなら ${\mathbb{F}}_p[x]$ で $\bar{f}\bar{g}=0$ ですが、${\mathbb{F}}_p[x]$ は零因子をもたないので $\bar{f}=0$ または $\bar{g}=0$、つまり $f,g$ の一方が原始的でなくなります。
(b) $f$ が原始的、$h\in \mathbb{Z}[x]$ で、$h=fq$ となる $q\in \mathbb{Q}[x]$ があれば $q\in \mathbb{Z}[x]$ です。実際 $q\ne 0$ なら $q=\frac{s}{t}{q}_0$（$q_0$ は原始的、$s,t$ は互いに素な整数、$t>0$）と書けて $th=sf{q}_0$。(a) より $f{q}_0$ は原始的なので右辺の係数の最大公約数は $|s|$、左辺は $tc(h)$ です。よって $t\mid s$ となり $t=1$ です。
(c) 特に、$\mathbb{Q}$ 上既約で原始的な 1 次以上の $f$ について、$f\mid gh$（$g,h\in \mathbb{Z}[x]$）なら $\mathbb{Q}[x]$ で $f\mid g$ または $f\mid h$ となり、(b) により $\mathbb{Z}[x]$ でも割り切れます。つまり $(f)$ は $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルです。

分類. $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアル $P$ をとると、$P\cap \mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の素イデアルなので $(0)$ か $(p)$ です。
$P\cap \mathbb{Z}=(p)$ のとき、$P\supseteq (p)$ なので対応定理により $P$ は $\mathbb{Z}[x]/(p)\cong {\mathbb{F}}_p[x]$ の素イデアルに対応します。${\mathbb{F}}_p[x]$ の素イデアルは $(0)$ か $(\bar{g})$（$\bar{g}$ はモニック既約）なので、$P=(p)$ または $P=(p,g)$ です。$\mathbb{Z}[x]/(p,g)\cong {\mathbb{F}}_p[x]/(\bar{g})$ は体なので $(p,g)$ は極大イデアルです。
$P\cap \mathbb{Z}=(0)$ かつ $P\ne (0)$ のとき、$0$ でない $h\in P$ をとり $h=c(h)h_0$ と書きます。$c(h)\notin P$ で $P$ は素イデアルなので $h_0\in P$ です。$h_0$ が定数なら $h_0=\pm 1\in P$ となり矛盾するので $h_0$ は 1 次以上です。$h_0$ を $\mathbb{Q}[x]$ で既約因子に分解し、各因子を有理数倍して原始的にとると $h_0=r{f}_1\cdots f_k$（$r\in \mathbb{Q}$、$f_i$ は原始的で $\mathbb{Q}$ 上既約）となります。(a) より $f_1\cdots f_k$ は原始的なので、(b) を $h_0=(f_1\cdots f_k)\cdot r$ に使うと $r\in \mathbb{Z}$、さらに $h_0$ が原始的なので $r=\pm 1$ です。$P$ は素イデアルなので、ある $f=f_i$ が $P$ に入ります。任意の $h^{\prime }\in P$ について、$\mathbb{Q}[x]$ で $f\nmid h^{\prime }$ なら、$f$ が既約なので $af+b{h}^{\prime }=1$ となる $a,b\in \mathbb{Q}[x]$ があり、分母を払うと $0$ でない整数が $P$ に入って矛盾します。よって $h^{\prime }=fq$（$q\in \mathbb{Q}[x]$）で、(b) より $q\in \mathbb{Z}[x]$、つまり $P=(f)$ です。原始的で $\mathbb{Q}$ 上既約な 1 次以上の多項式は、$\mathbb{Z}[x]$ で 1 次以上の 2 つの積にも、$\pm 1$ 以外の整数と多項式の積にも書けないので、$\mathbb{Z}$ 上既約です。また $f$ の最高次係数を割らない素数 $p$ をとると $(f)⊊(p,f)⊊\mathbb{Z}[x]$ なので、$(f)$ は極大ではありません。

剰余環への応用. $F$ を原始的で 1 次以上の多項式とすると、$\mathbb{Z}[x]/(F)$ の素イデアルは、対応定理により $F$ を含む上の 4 種類のものです。$(0)$ と $(p)$ は $F$ を含まず（$F\in (p)$ なら $p$ がすべての係数を割る）、$(f)\ni F$ となるのは (b) より $\mathbb{Q}[x]$ で $f\mid F$ のとき、$(p,g)\ni F$ となるのは ${\mathbb{F}}_p[x]$ で $\bar{g}\mid \bar{F}$ のときです。前者はほかの素イデアルを含まない（極小な）素イデアルで「高さ 0」と呼ばれ、後者は極大イデアルです。素数 $p$ を固定すると、$p$ を含む素イデアルは ${\mathbb{F}}_p[x]/(\bar{F})$ の素イデアルと対応するので、その個数は $\bar{F}$ の相異なるモニック既約因子の個数です。