可換環論・ホモロジー代数の問題

$R=S^{-1}\mathbb{Z}$ とおく。局所化は剰余と可換なので
$$B\cong R[x]/(x^4-1)$$
である。$R$ の素イデアルは $\mathbb{Z}$ の素イデアルで $S$ と交わらないものに対応するので、$(0),2R,3R,5R$ の $4$ 個であり、$R/pR\cong {\mathbb{F}}_p$（$p=2,3,5$）、$R$ の商体は $\mathbb{Q}$ である。

$B$ の素イデアルは、$R[x]$ の素イデアル $P$ で $f=x^4-1$ を含むものと 1 対 1 に対応する。$\mathfrak{p}=P\cap R$ で場合分けする。

(1) $\mathfrak{p}=(0)$ のとき. $R\setminus \{0\}$ で局所化すると、$P$ は $\mathbb{Q}[x]$ の素イデアルで $f$ を含むもの（$f\ne 0$ なので $(0)$ ではない極大イデアル）に対応する。$\mathbb{Q}[x]$ での既約分解は
$$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$$
であり（$x^2+1$ は有理根をもたないので既約）、$P$ は $(x-1),(x+1),(x^2+1)$ に対応する $3$ 個。

(2) $\mathfrak{p}=pR$（$p=2,3,5$）のとき. $P\supseteq pR[x]$ なので、$P$ は $R[x]/pR[x]\cong {\mathbb{F}}_p[x]$ の素イデアルで $\bar{f}$ を含むものに対応する。$\bar{f}$ はモニックで $0$ でないから、それは $\bar{f}$ の ${\mathbb{F}}_p$ 上の相異なるモニック既約因子 $g$ に対応する $(p,g)$ である。
- $p=2$: $x^4-1\equiv (x+1{)}^4(\mathrm{mod}2)$。既約因子は $x+1$ のみで $1$ 個。
- $p=3$: $x^4-1\equiv (x-1)(x+1)(x^2+1)(\mathrm{mod}3)$。$x^2+1$ は $x=0,1,2$ を代入すると $1,2,2$ で根をもたないから ${\mathbb{F}}_3$ 上既約。既約因子は $3$ 個。
- $p=5$: $2^2=4\equiv -1$ なので $x^2+1\equiv (x-2)(x+2)(\mathrm{mod}5)$、よって $x^4-1\equiv (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$。既約因子は $4$ 個。

以上から素イデアルの個数は
$$3+1+3+4=11$$
である。

（補足: (1) の $3$ 個が極小素イデアル、(2) の $8$ 個が極大イデアルで、$B$ のクルル次元は $1$ である。）

$R=\mathbb{Z}[x]/(x^4-1)$ とおく。$B=S^{-1}R$ の素イデアルは、$S$ と交わらない $R$ の素イデアル $P$ と 1 対 1 に対応する。$P\cap \mathbb{Z}$ は素イデアルで、$S$ と交わらないことは $P\cap \mathbb{Z}\in \{(0),(2),(3),(5)\}$ と同値（$p\notin \{2,3,5\}$ なら $p\in S$）。

$R$ の素イデアルを標数ごとに数える。$R/pR={\mathbb{F}}_p[x]/(x^4-1)$ の素イデアルは $x^4-1$ の ${\mathbb{F}}_p$ 上の相異なる既約因子の個数に等しい。
- $p=2$: $x^4-1=(x-1{)}^4$ なので 1 個。
- $p=3$: $(x-1)(x+1)(x^2+1)$（$x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3$ で既約）なので 3 個。
- $p=5$: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$ なので 4 個。
- $P\cap \mathbb{Z}=0$ のもの: $R\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[x]/(x^4-1)\cong \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}(i)$ の素イデアルで 3 個（$R$ は $\mathbb{Z}$ 上平坦で $P\cap \mathbb{Z}=0$ の素イデアルはこれに対応）。

合計 $1+3+4+3=11$。

検算: $\mathrm{Spec}R$ は $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$（$x=1$）、$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$（$x=-1$）、$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[i]$ の 3 成分の和集合で、$(2,x-1)$ で全部が一致する。成分ごとに $\{0,2,3,5\}$ 上の点を数えると $4+4+5=13$ で、点 $(2,x-1)$ が 3 重に数えられているので $13-2=11$。一致。