局所化と素イデアルの対応

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。$$A=\mathbb{Z}[x]/(x^3-1)$$ とおき、$\mathbb{Z}$ の積閉集合 $S=\mathbb{Z}\setminus 7\mathbb{Z}$（$7$ で割り切れない整数全体）の像による局所化 $S^{-1}A$ を考える。$S^{-1}A$ の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。$$A=\mathbb{Z}[x]/(100,x^2+1)$$ とおき、$A$ のイデアル $P=(5,x-2)A$ を考える。$P$ は $A$ の素イデアルである。局所化 $A_P$ は有限環である。$A_P$ の元の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ の部分集合 $S$ が積閉集合であるとは、$1\in S$ かつ $s,t\in S\Rightarrow st\in S$ が成り立つことと定める（$0\in S$ でもよい）。$S^{-1}A$ は $S$ による $A$ の局所化、$\phi :A\to S^{-1}A$, $\phi (a)=a/1$ は標準的な環準同型とし、$A^{\times }$ で $A$ の単元全体を表す。

$A$ を有限環（元の個数が有限の環）、$S$ を $A$ の積閉集合とする。このとき $\phi$ は全射であり、とくに $|S^{-1}A|\le |A|$ が成り立つこと、さらに等号 $|S^{-1}A|=|A|$ が成り立つための必要十分条件は $S\subseteq A^{\times }$ であることを証明せよ。

ただし、局所化の定義（$a/s=b/t⟺$ ある $u\in S$ について $u(at-bs)=0$）と、それから直ちに従う基本的な計算規則は用いてよい。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。素イデアルは環全体と異なるものとし、零イデアルが素イデアルであればそれも数える（すなわち、素スペクトル $\mathrm{Spec}$ の元の個数を数える）。
$$A=\mathbb{Z}[x,y]/(x^2-2,y^3-2)$$
とおく。
$$S=\{n\in \mathbb{Z}:\gcd (n,2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 31)=1\}$$
とおく。$S$ は $2,3,5,7,31$ のどれでも割り切れない整数全体であり、$\pm 1$ を含み、$0$ は含まない。$S$ は $\mathbb{Z}$ の積閉集合である。標準準同型 $\mathbb{Z}\to A$ による $S$ の像を $A$ の積閉集合とみなし、局所化 $R=S^{-1}A$ を考える。$R$ の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の 2 変数多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Q}[x,y]/(x^3-xy,y^2-xy)$$
を考え、$\mathfrak{m}=(x,y)A$ とおく（$\mathfrak{m}$ は $A$ の極大イデアルである）。局所化 $A_{\mathfrak{m}}$ の $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間としての次元 ${\dim }_{\mathbb{Q}}{A}_{\mathfrak{m}}$ を求めよ。

環はすべて単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。整数環 $\mathbb{Z}$ の部分集合
$$S=\mathbb{Z}\setminus \left(2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}\cup 5\mathbb{Z}\right)$$
（$2,3,5$ のいずれでも割り切れない整数全体）は乗法的集合である。環
$$B=S^{-1}\left(\mathbb{Z}[x]/(x^4-1)\right)$$
の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし，素イデアルは環全体と異なるものとする。剰余環
$$R=\mathbb{Z}[x]/(8,x^6-1)$$
と，その極大イデアル $\mathfrak{m}=(2,x^2+x+1)R$ を考える。$R$ の $\mathfrak{m}$ における局所化 $R_{\mathfrak{m}}$ は有限環である。$R_{\mathfrak{m}}$ の元の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ のクルル次元 $\dim A$ を、$A$ の素イデアルの真の増大列 ${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n$ の長さ $n$ の上限と定める。

$A$ を零環でないネーター環とする。次の同値を証明せよ。

$$A\text{ の素イデアルが有限個しかない}⟺A\text{ の極大イデアルが有限個しかなく、かつ }\dim A\le 1.$$

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- クルルの単項イデアル定理: ネーター環 $R$ の元 $x$ について、$xR$ を含む素イデアルのうち包含関係について極小なものの高さは $1$ 以下である。
- 素イデアル回避: 環 $R$ のイデアル $I$ と素イデアル ${\mathfrak{q}}_1,\dots ,{\mathfrak{q}}_r$ について、$I\subseteq {\mathfrak{q}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{q}}_r$ ならば、ある $i$ について $I\subseteq {\mathfrak{q}}_i$ である。
- ネーター環の極小素イデアルは有限個であり、任意の環で、どの素イデアルもある極小素イデアルを含む。また、どの真のイデアルもある極大イデアルに含まれる。
- 局所化・剰余環の素イデアルの対応、およびネーター環の局所化・剰余環がネーター環であること。