可換環論・ホモロジー代数の問題

($\Leftarrow$) の証明. $A$ の極大イデアルが有限個で $\dim A\le 1$ であるとする。$A$ の任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ が「極小素イデアル」または「極大イデアル」のどちらかであることを示す。

$\mathfrak{p}$ が極小素イデアルでないとする。認めた事実より、$\mathfrak{p}$ はある極小素イデアル ${\mathfrak{p}}^{\prime }$ を含み、$\mathfrak{p}$ は極小でないので ${\mathfrak{p}}^{\prime }⊊\mathfrak{p}$ である。また $\mathfrak{p}$ は真のイデアルなので、ある極大イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれる。もし $\mathfrak{p}\ne \mathfrak{m}$ なら ${\mathfrak{p}}^{\prime }⊊\mathfrak{p}⊊\mathfrak{m}$ は長さ $2$ の素イデアルの列となり、$\dim A\le 1$ に反する。よって $\mathfrak{p}=\mathfrak{m}$ であり、$\mathfrak{p}$ は極大イデアルである。

したがって $A$ の素イデアル全体は、極小素イデアル全体と極大イデアル全体の和集合に含まれる。$A$ はネーター環なので極小素イデアルは有限個であり、仮定より極大イデアルも有限個である。ゆえに $A$ の素イデアルは有限個である。

($\Rightarrow$) の証明. $A$ の素イデアルが有限個であるとする。極大イデアルは素イデアルなので、極大イデアルも有限個である。残りは $\dim A\le 1$ を示すことである。

背理法を用いる。$\dim A\ge 2$ と仮定し、矛盾を導く。このとき素イデアルの列 ${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊{\mathfrak{p}}_2$ が存在する。

手順 1（局所整域への帰着）. $B=A_{{\mathfrak{p}}_2}/{\mathfrak{p}}_0{A}_{{\mathfrak{p}}_2}$ とおく。局所化と剰余環の素イデアルの対応により、$B$ の素イデアルは、${\mathfrak{p}}_0\subseteq \mathfrak{q}\subseteq {\mathfrak{p}}_2$ をみたす $A$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ と、$\mathfrak{q}\mapsto \mathfrak{q}B$ によって包含関係を保って $1$ 対 $1$ に対応する（真の包含も保たれる）。これから次がわかる。
- $B$ はネーター環である（ネーター環の局所化の剰余環だから）。
- $B$ の素イデアルは有限個である（$A$ の素イデアルが有限個だから）。
- $B$ の素イデアルのうち最小のものは ${\mathfrak{p}}_{0}B$ に対応するもの、すなわち $B$ の零イデアル $(0)$ であり、$(0)$ は素イデアルなので $B$ は整域である。
- $B$ の素イデアルのうち最大のものは $\mathfrak{m}={\mathfrak{p}}_{2}B$ であり、$B$ は $\mathfrak{m}$ を唯一の極大イデアルとする局所環である。
- ${\mathfrak{q}}_0={\mathfrak{p}}_{1}B$ とおくと $(0)⊊{\mathfrak{q}}_0⊊\mathfrak{m}$ であるから、$\mathfrak{m}$ の高さは $2$ 以上である。

手順 2（元 $x$ の構成）. $B$ の素イデアルのうち $(0)$ とも $\mathfrak{m}$ とも異なるもの全体を ${\mathfrak{q}}_1,\dots ,{\mathfrak{q}}_r$ とする。これは有限個であり、${\mathfrak{q}}_0$ がその中にあるので $r\ge 1$ である。各 $i$ について ${\mathfrak{q}}_i$ は $\mathfrak{m}$ と異なる素イデアルで、$B$ は局所環だから ${\mathfrak{q}}_i⊊\mathfrak{m}$、とくに $\mathfrak{m}⊈{\mathfrak{q}}_i$ である。素イデアル回避の対偶により $\mathfrak{m}⊈{\mathfrak{q}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{q}}_r$ となるので、
$$x\in \mathfrak{m},x\notin {\mathfrak{q}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{q}}_r$$
をみたす $x\in B$ がとれる。$0\in {\mathfrak{q}}_1$ なので $x\ne 0$ である。

手順 3（単項イデアル定理の適用）. $xB$ を含む $B$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ を考える。$x\ne 0$ より $\mathfrak{q}\ne (0)$、$x$ の選び方より $\mathfrak{q}\ne {\mathfrak{q}}_i$ $(i=1,\dots ,r)$ である。$B$ の素イデアルは $(0),{\mathfrak{q}}_1,\dots ,{\mathfrak{q}}_r,\mathfrak{m}$ ですべてなので、$\mathfrak{q}=\mathfrak{m}$ である。一方 $x\in \mathfrak{m}$ より $\mathfrak{m}$ は $xB$ を含む。よって $xB$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ ただ 1 つであり、$\mathfrak{m}$ は $xB$ を含む極小な素イデアルである。

$B$ はネーター環なので、クルルの単項イデアル定理より $\mathfrak{m}$ の高さは $1$ 以下である。これは手順 1 で示した「$\mathfrak{m}$ の高さは $2$ 以上」に矛盾する。

よって $\dim A\le 1$ である。

以上より、零環でないネーター環 $A$ について、$A$ の素イデアルが有限個であることと、$A$ の極大イデアルが有限個でかつ $\dim A\le 1$ であることは同値である。