可換環論・ホモロジー代数の問題

手順 1（単元の特徴づけ）. $a\in A$ について
$$a\in A^{\times }⟺a\notin {\mathfrak{m}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{m}}_s$$
を示す。

($\Rightarrow$) $a$ が単元で、ある $i$ について $a\in {\mathfrak{m}}_i$ とすると、$1=a^{-1}a\in {\mathfrak{m}}_i$ となり、${\mathfrak{m}}_i=A$ となって ${\mathfrak{m}}_i$ が真のイデアルであることに反する。

($\Leftarrow$) $a$ が単元でないとすると、$1\notin aA$ なので $aA$ は真のイデアルである。認めた事実より $aA$ はある極大イデアルに含まれ、極大イデアルは ${\mathfrak{m}}_1,\dots ,{\mathfrak{m}}_s$ ですべてだから、ある $i$ について $a\in aA\subseteq {\mathfrak{m}}_i$ となる。対偶をとれば ($\Leftarrow$) が成り立つ。

したがって $A^{\times }=A\setminus ({\mathfrak{m}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{m}}_s)$ である。

手順 2（共通部分の個数）. $\{1,\dots ,s\}$ の部分集合 $T$ に対し、$I_T={\bigcap }_{i\in T}{\mathfrak{m}}_i$（$T=\varnothing$ のときは $I_{\varnothing }=A$）とおき、
$$|I_T|=\frac{|A|}{{\prod }_{i\in T}{q}_i}$$
を示す（$T=\varnothing$ のとき右辺は $|A|$ で成り立つ）。

$T\ne \varnothing$ とする。$j\ne l$ のとき ${\mathfrak{m}}_j\ne {\mathfrak{m}}_l$ であり、${\mathfrak{m}}_j\subseteq {\mathfrak{m}}_j+{\mathfrak{m}}_l$ で、もし ${\mathfrak{m}}_j+{\mathfrak{m}}_l={\mathfrak{m}}_j$ なら ${\mathfrak{m}}_l\subseteq {\mathfrak{m}}_j$ となり、${\mathfrak{m}}_l$ の極大性から ${\mathfrak{m}}_l={\mathfrak{m}}_j$ となって矛盾する。よって ${\mathfrak{m}}_j⊊{\mathfrak{m}}_j+{\mathfrak{m}}_l$ であり、${\mathfrak{m}}_j$ の極大性から ${\mathfrak{m}}_j+{\mathfrak{m}}_l=A$ である。ゆえに中国剰余定理が使えて
$$A/I_T\cong \prod _{i\in T}A/{\mathfrak{m}}_i,|A/I_T|=\prod _{i\in T}{q}_i.$$
ラグランジュの定理（加法群 $A$ の部分群 $I_T$ による剰余類の個数）より $|A|=|I_T|\cdot |A/I_T|$ なので、$|I_T|=|A|/{\prod }_{i\in T}{q}_i$ である。

手順 3（包除原理）. 包除原理より
$$|{\mathfrak{m}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{m}}_s|=\sum _{\varnothing \ne T\subseteq \{1,\dots ,s\}}(-1{)}^{|T|+1}|I_T|$$
であるから、手順 1, 2 より
$$|A^{\times }|=|A|-|{\mathfrak{m}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{m}}_s|=\sum _{T\subseteq \{1,\dots ,s\}}(-1{)}^{|T|}|I_T|=|A|\sum _{T\subseteq \{1,\dots ,s\}}\prod _{i\in T}\left(-\frac{1}{q_i}\right).$$
右辺の和は、積 ${\prod }_{i=1}^s\left(1-\frac{1}{q_i}\right)$ を展開したときの各項（各 $i$ について $1$ か $-\frac{1}{q_i}$ のどちらかを選んで掛けたもの）の和にちょうど等しい。よって
$$|A^{\times }|=|A|\prod _{i=1}^s\left(1-\frac{1}{q_i}\right).$$

以上より、零環でない有限環 $A$ について、$|A^{\times }|=|A|{\prod }_{i=1}^s\left(1-\frac{1}{q_i}\right)$ が成り立つ。