可換環論・ホモロジー代数の問題

ステップ 1：中国剰余定理で分解する。 ${\mathbb{F}}_3[x]$ において $x^2$ と $x^2+1$ は互いに素である（$x^2+1$ は $x=0$ で値 $1\ne 0$ をとるので $x$ で割り切れない）。実際 $$(x^2+1)-x^2=1$$ なので $(x^2)+(x^2+1)={\mathbb{F}}_3[x]$ である。よって中国剰余定理により $$R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)$$ となり、単数群も $$R^{\times }\cong ({\mathbb{F}}_3[x]/(x^2){)}^{\times }\times ({\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1){)}^{\times }$$ と分解する（直積環の元が可逆であることと、各成分が可逆であることは同値）。

ステップ 2：$A={\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)$ の単数。 $A$ の元は $a+bx$（$a,b\in {\mathbb{F}}_3$）と一意に表され、$|A|=9$。$a\ne 0$ なら $$(a+bx)(a^{-1}-a^{-2}bx)=1-a^{-1}bx+a^{-1}bx=1$$ （$x^2=0$ を使った）なので可逆。$a=0$ なら $bx\cdot bx=0$ より $bx$ は冪零で可逆でない。よって $|A^{\times }|=2\cdot 3=6$。

ステップ 3：$B={\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)$ の単数。 $x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3$ に根をもたない（$x=0,1,2$ で値はそれぞれ $1,2,5\equiv 2$）。二次式なので既約であり、$B$ は元の個数 $9$ の体 ${\mathbb{F}}_9$ である。よって $|B^{\times }|=9-1=8$。

ステップ 4：まとめ。 $$|R^{\times }|=6\times 8=48.$$

$x^2$ と $x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3[x]$ で互いに素（$(x^2+1)-x^2=1$）なので、中国剰余定理より $R\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)\times {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)$。\n\n${\mathbb{F}}_3$ では $x^2+1$ は根をもたない（$0^2+1=1,1^2+1=2,2^2+1=5=2$ はいずれも $0$ でない）ので、2 次式として既約であり、${\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)\cong {\mathbb{F}}_9$ は体。単数群の位数は $9-1=8$。\n\n${\mathbb{F}}_3[x]/(x^2)$ は局所環で、極大イデアルは $(x)$（元の個数 3）。非単元は $(x)$ の元 3 個なので、単元は $9-3=6$ 個。\n\n単数群は直積の各成分の単数群の直積なので、$|R^{\times }|=6\times 8=48$。\n\n検算: $|R|=3^4=81$。非単元は、各成分で非単元となる元の数から、全体で $81-48=33$ 個。$R$ は局所環でないので、$\mathfrak{m}$ の個数で確認すると、$|R^{\times }|=|R|\cdot (1-1/3)\cdot (1-1/9)=81\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{8}{9}=48$ となり一致する。