可換環論・ホモロジー代数の問題

方針. $R$ を局所環の直積に分け、各局所環 $(R_i,{\mathfrak{m}}_i)$ で $|R_i^{\times }|=|R_i|-|{\mathfrak{m}}_i|$ を使う。

1. 直積への分解. $18=2\cdot 9$ で $\gcd (2,9)=1$ だから、中国剰余定理より $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ であり、
$$R\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[x]/(x^2+1)\times (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[x]/(x^2+1)=:R_1\times R_2.$$
直積の単数は各成分が単数である元なので $|R^{\times }|=|R_1^{\times }|\cdot |R_2^{\times }|$ である。

2. $R_1={\mathbb{F}}_2[x]/(x^2+1)$. ${\mathbb{F}}_2$ 上では $x^2+1=(x+1{)}^2$ だから $R_1={\mathbb{F}}_2[x]/((x+1{)}^2)$。$R_1$ の素イデアルは $(x+1{)}^2$ を含む素イデアル、すなわち $(x+1)$ だけなので、$R_1$ は極大イデアル ${\mathfrak{m}}_1=(x+1)/((x+1{)}^2)$ をもつ局所環である。$|R_1|=2^2=4$、$R_1/{\mathfrak{m}}_1\cong {\mathbb{F}}_2$ より $|{\mathfrak{m}}_1|=4/2=2$。よって
$$|R_1^{\times }|=4-2=2.$$

3. $R_2=(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[x]/(x^2+1)$. $R_2$ の元は $a+bx$（$a,b\in \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$）と一意に表せるので $|R_2|=9^2=81$。$R_2$ の素イデアルは $3$ を含む（$3^2=0$ なので、素イデアルは $3$ を含む）。$R_2/(3)\cong {\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)$ で、$x^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上で根をもたない（$0^2+1=1,1^2+1=2,2^2+1=5\equiv 2$）2 次式なので既約であり、$R_2/(3)\cong {\mathbb{F}}_9$ は体である。したがって ${\mathfrak{m}}_2=(3)$ が $R_2$ の唯一の素イデアル（極大イデアル）で、$R_2$ は局所環である。$|R_2/{\mathfrak{m}}_2|=9$ より $|{\mathfrak{m}}_2|=81/9=9$。よって
$$|R_2^{\times }|=81-9=72.$$

4. まとめ.
$$|R^{\times }|=2\cdot 72=144.$$

$R=\mathbb{Z}[x]/(18,x^2+1)\cong \mathbb{Z}[i]/(18)$ である。$18=2\cdot 9$ で $(2),(9)$ は $\mathbb{Z}[i]$ のイデアルとして互いに素（$1=5\cdot 2-9$）なので、中国剰余定理より $R\cong \mathbb{Z}[i]/(2)\times \mathbb{Z}[i]/(9)$。

(1) $\mathbb{Z}[i]/(2)$: 位数 4。$2=-i(1+i{)}^2$ より $(2)=(1+i{)}^2$ で、$(1+i)$ は剰余体 ${\mathbb{F}}_2$ の素イデアル。よって局所環で極大イデアル $(1+i)/(2)$ の位数は 2。単数群の位数は $4-2=2$。(元は $1,i$ が単数、$0,1+i$ が非単数。)

(2) $\mathbb{Z}[i]/(9)$: 位数 $81$。$3$ は $\mathbb{Z}[i]$ で素元（$3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$）なので $(9)=(3{)}^2$、$\mathbb{Z}[i]/(3)\cong {\mathbb{F}}_9$。局所環で極大イデアル $(3)/(9)$ の位数は $9$。単数群の位数は $81-9=72$。

以上より $|R^{\times }|=2\cdot 72=144$。

検算: $\mathbb{Z}[i]/(n)$ の単数群の位数は $n^2{\prod }_{p\mid n}(1-1/N(\mathfrak{p}))$ の形で、$N(1+i)=2$, $N(3)=9$ より $324\cdot (1-1/2)(1-1/9)=324\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{8}{9}=144$。一致する。