有限可換環の単数群の位数

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。剰余環 $$R=\mathbb{Z}[x]/(18,x^2+1)$$ は有限環である。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。剰余環
$$R=\mathbb{Z}[x]/(12,x^2+x+1)$$
は有限環である。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とし、$$R={\mathbb{F}}_3[x]/(x^2(x^2+1))$$ とおく。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。$$A=\mathbb{Z}[x]/(100,x^2+1)$$ とおき、$A$ のイデアル $P=(5,x-2)A$ を考える。$P$ は $A$ の素イデアルである。局所化 $A_P$ は有限環である。$A_P$ の元の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ の単元（可逆元）全体のなす群を $A^{\times }$、有限集合 $X$ の元の個数を $|X|$ で表す。

$A$ を零環でない有限環とし、$A$ の相異なる極大イデアル全体を ${\mathfrak{m}}_1,\dots ,{\mathfrak{m}}_s$ とする（$A$ は有限なので極大イデアルは有限個である）。$q_i=|A/{\mathfrak{m}}_i|$ $(i=1,\dots ,s)$ とおくとき、
$$|A^{\times }|=|A|\prod _{i=1}^s\left(1-\frac{1}{q_i}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、中国剰余定理（環のイデアル $I_1,\dots ,I_t$ がどの 2 つも $I_j+I_l=A$ $(j\ne l)$ をみたすとき、$A/(I_1\cap \cdots \cap I_t)\cong A/I_1\times \cdots \times A/I_t$）、真のイデアルはある極大イデアルに含まれること、および包除原理は用いてよい。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$G=⟨g⟩$ を位数 $4$ の巡回群とし、$\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ 係数の群環 $$R=(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[G]$$ を考える（$R$ は $9^4$ 個の元からなる有限環である）。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。${\mathbb{F}}_2$ を $2$ 元体とし、剰余環
$$R={\mathbb{F}}_2[x]/(x^{12}+1)$$
を考える。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の 2 変数多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Q}[x,y]/(x^3-xy,y^2-xy)$$
を考え、$\mathfrak{m}=(x,y)A$ とおく（$\mathfrak{m}$ は $A$ の極大イデアルである）。局所化 $A_{\mathfrak{m}}$ の $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間としての次元 ${\dim }_{\mathbb{Q}}{A}_{\mathfrak{m}}$ を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし，素イデアルは環全体と異なるものとする。剰余環
$$R=\mathbb{Z}[x]/(8,x^6-1)$$
と，その極大イデアル $\mathfrak{m}=(2,x^2+x+1)R$ を考える。$R$ の $\mathfrak{m}$ における局所化 $R_{\mathfrak{m}}$ は有限環である。$R_{\mathfrak{m}}$ の元の個数を求めよ。