可換環論・ホモロジー代数

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。整数係数の 1 変数多項式環の剰余環 $$R=\mathbb{Z}[x]/(35,x^3-1)$$ の素イデアルの個数を求めよ。

$\mathbb{Z}/n$ で $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を表し、$\mathbb{Z}$ 加群（アーベル群）とみなす。$\mathbb{Z}$ 上のテンソル積 $$M=(\mathbb{Z}/12\oplus \mathbb{Z}/18){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/30$$ の位数（元の個数）を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。整数係数の 1 変数多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアル $P$ で、次の 2 つの条件をともに満たすものの個数を求めよ。

$(1)$ $x^4-1\in P$

$(2)$ $P\cap \mathbb{Z}=\{0\}$ または $P\cap \mathbb{Z}=5\mathbb{Z}$

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の 2 変数多項式環の剰余環 $$A=\mathbb{Q}[x,y]/(x^2+3,y^3-1)$$ の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の 2 変数多項式環の剰余環 $$A=\mathbb{Q}[x,y]/(y(x-1),y(y-3)(y^2-2))$$ の極小素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。剰余環 $$R=\mathbb{Z}[x]/(18,x^2+1)$$ は有限環である。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

$\mathbb{Z}$ 加群（アーベル群）として、$${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z},\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/8\mathbb{Z})$$ は有限群である。その位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。$$A=\mathbb{Z}[x]/(x^3-1)$$ とおき、$\mathbb{Z}$ の積閉集合 $S=\mathbb{Z}\setminus 7\mathbb{Z}$（$7$ で割り切れない整数全体）の像による局所化 $S^{-1}A$ を考える。$S^{-1}A$ の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$R=\mathbb{Z}/27\mathbb{Z}$ とし、$M=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $N=\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ を自然な全射 $R\to M$, $R\to N$ により $R$ 加群とみなす。$${\mathrm{Tor}}_2^R(M,N)$$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。複素数体 $\mathbb{C}$ 上の 4 変数多項式環の剰余環 $$A=\mathbb{C}[x,y,z,w]/(xy,xz)$$ のクルル次元 $\dim A$ を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$R={\mathbb{F}}_3[x,y]$（$3$ 元体 ${\mathbb{F}}_3$ 上の二変数多項式環）とし、$R$ 加群
$$M=R/(x^2,y),N=R/(x^3,xy,y^2)$$
を考える。$x^2,y$ が $R$ の正則列であることを用いて、${\mathrm{Tor}}_1^R(M,N)$ の ${\mathbb{F}}_3$ 上のベクトル空間としての次元を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。${\mathbb{F}}_5$ を $5$ 元体とし、
$$R={\mathbb{F}}_5[x,y]/(x^2,y^2)$$
とおく（以下、$x,y$ の $R$ における像も同じ文字で表す）。$R$ は極大イデアル $\mathfrak{m}=(x,y)$ をもつ局所アルティン環であり、剰余体を $k=R/\mathfrak{m}\cong {\mathbb{F}}_5$ とする。$k$ の $R$ 上の第 $2$ ベッチ数
$${\beta }_2={\dim }_k{\mathrm{Tor}}_2^R(k,k)$$
を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、極大イデアルは環全体と異なるものとする。また、離散付値環は体でないものとする。複素数体 $\mathbb{C}$ 上の二変数多項式環の剰余環
$$R=\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^2(x-1{)}^2(x+1))$$
を考える。$R$ は $1$ 次元のネーター整域である。$R$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ のうち、局所化 $R_{\mathfrak{m}}$ が離散付値環でないものの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。複素数体 $\mathbb{C}$ 上の二変数多項式環を極大イデアル $(x,y)$ で局所化した環を $A=\mathbb{C}[x,y{]}_{(x,y)}$ とし、
$$R=A/(x^{2}y-y^3+x^5)$$
とおく。$R$ はネーター局所環で、その極大イデアルを $\mathfrak{m}=(x,y)R$ とする。$n$ を $2$ 以上の整数とするとき、$R$ 加群としての長さ $\ell (R/{\mathfrak{m}}^n)$ を $n$ の式で表せ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。剰余環
$$R=\mathbb{Z}[x]/(15,x^2+1)$$
の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。$R=\mathbb{C}[x,y,z]/(xz,yz)$ とし、$R$ のイデアル $\mathfrak{p}=(x,y,z-1)R$ を考える（$\mathfrak{p}$ は $R$ の素イデアルである）。局所化 $R_{\mathfrak{p}}$ のクルル次元を求めよ。

$\mathbb{Z}$ 加群（アーベル群）として、${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1\left(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z},\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\right)$ の位数を求めよ。

$\mathbb{Z}$ 加群
$$M=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z},N=\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$$
を考える。$\mathbb{Z}$ 上の ${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(M,N)$、${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(M,N)$、${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(N,M)$ はいずれも有限群である。これらの位数をこの順に組 $\left(|{\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(M,N)|,|{\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(M,N)|,|{\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(N,M)|\right)$ として求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。剰余環
$$R=\mathbb{Z}[x]/(12,x^2+x+1)$$
は有限環である。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。${\mathbb{F}}_3$ を 3 元体とし，剰余環
$$R={\mathbb{F}}_3[x]/((x-1{)}^2(x^2+1))$$
を考える。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

$k$ を体とし，次数付き多項式環 $S=k[x,y,z]$（$x,y,z$ の次数はすべて $1$）の斉次イデアル $I=(x^2,xy)$ を考える。次数付き環 $A=S/I$ のヒルベルト関数を $H_A(n)={\dim }_k{A}_n$（$n$ は $0$ 以上の整数，$A_n$ は $A$ の $n$ 次斉次成分）とする。十分大きいすべての整数 $n$ に対して $H_A(n)=P(n)$ をみたす多項式 $P(n)$（ヒルベルト多項式）を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とし、$$R={\mathbb{F}}_3[x]/(x^2(x^2+1))$$ とおく。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。$$A=\mathbb{Z}[x]/(100,x^2+1)$$ とおき、$A$ のイデアル $P=(5,x-2)A$ を考える。$P$ は $A$ の素イデアルである。局所化 $A_P$ は有限環である。$A_P$ の元の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ の単元（可逆元）全体のなす群を $A^{\times }$、有限集合 $X$ の元の個数を $|X|$ で表す。

$A$ を零環でない有限環とし、$A$ の相異なる極大イデアル全体を ${\mathfrak{m}}_1,\dots ,{\mathfrak{m}}_s$ とする（$A$ は有限なので極大イデアルは有限個である）。$q_i=|A/{\mathfrak{m}}_i|$ $(i=1,\dots ,s)$ とおくとき、
$$|A^{\times }|=|A|\prod _{i=1}^s\left(1-\frac{1}{q_i}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、中国剰余定理（環のイデアル $I_1,\dots ,I_t$ がどの 2 つも $I_j+I_l=A$ $(j\ne l)$ をみたすとき、$A/(I_1\cap \cdots \cap I_t)\cong A/I_1\times \cdots \times A/I_t$）、真のイデアルはある極大イデアルに含まれること、および包除原理は用いてよい。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$G=⟨g⟩$ を位数 $4$ の巡回群とし、$\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ 係数の群環 $$R=(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})[G]$$ を考える（$R$ は $9^4$ 個の元からなる有限環である）。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$R=\mathbb{Z}[x]$（整数係数の一変数多項式環）とし、$R$ 加群
$$M=R/(3,x),N=R/(9,3x,x^2)$$
を考える。${\mathrm{Tor}}_1^R(M,N)$ は有限集合である。その位数（元の個数）を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$k$ を体とし、$S=k[x,y,z,w]$ を各変数の次数が $1$ の次数付き多項式環とする。単項式イデアル
$$I=(x^2,xy,y^{3}z)$$
による剰余環 $R=S/I$ を考える。$R$ は次数付き環 $R={⨁}_{n\ge 0}{R}_n$ であり、そのヒルベルト関数を $H_R(n)={\dim }_k{R}_n$ $(n\ge 0)$ と定める。十分大きいすべての整数 $n$ に対して $H_R(n)=P_R(n)$ をみたす多項式 $P_R(n)\in \mathbb{Q}[n]$（ヒルベルト多項式）を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。${\mathbb{F}}_2$ を $2$ 元体とし、剰余環
$$R={\mathbb{F}}_2[x]/(x^{12}+1)$$
を考える。$R$ の単数群（乗法について可逆な元全体のなす群）$R^{\times }$ の位数を求めよ。

環 $R=\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ とし、$M=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $N=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ を自然な $R$ 加群とみなす（$N$ は $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ を通して $R$ 加群とする）。$R$ 加群 ${\mathrm{Ext}}_R^2(M,N)$ の位数を求めよ。

環はすべて単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。
$$A=\mathbb{Z}[x]/(x^6-1)$$
とおく。$A$ の素イデアル $P$ のうち、局所化 $A_P$ が整域でないものの個数を求めよ。

環はすべて単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。
$$R=\mathbb{Z}[x]/(x^2-45)$$
とおく。$R$ の $0$ でない素イデアル $P$ のうち、局所化 $R_P$ が離散付値環でないものの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$R=\mathbb{Z}[x]$（整数係数の一変数多項式環）とし、$R$ 加群 $$M=R/(4,x^2+1),N=R/(6,x^3+1)$$ を考える。${\mathrm{Tor}}_1^R(M,N)$ は有限集合である。その元の個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$k$ を体とし、多項式環 $S=k[x,y,z,w]$ を各変数の次数を $1$ とする次数付き環とみなす。斉次イデアル $$I=(x^2,xy)$$ に対し、次数付き環 $A=S/I$ のヒルベルト関数を $H_A(n)={\dim }_k{A}_n$（$n$ は $0$ 以上の整数、$A_n$ は $A$ の $n$ 次斉次部分）とする。十分大きいすべての整数 $n$ について $H_A(n)=P(n)$ となる多項式 $P(n)$（ヒルベルト多項式）を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ の部分集合 $S$ が積閉集合であるとは、$1\in S$ かつ $s,t\in S\Rightarrow st\in S$ が成り立つことと定める（$0\in S$ でもよい）。$S^{-1}A$ は $S$ による $A$ の局所化、$\phi :A\to S^{-1}A$, $\phi (a)=a/1$ は標準的な環準同型とし、$A^{\times }$ で $A$ の単元全体を表す。

$A$ を有限環（元の個数が有限の環）、$S$ を $A$ の積閉集合とする。このとき $\phi$ は全射であり、とくに $|S^{-1}A|\le |A|$ が成り立つこと、さらに等号 $|S^{-1}A|=|A|$ が成り立つための必要十分条件は $S\subseteq A^{\times }$ であることを証明せよ。

ただし、局所化の定義（$a/s=b/t⟺$ ある $u\in S$ について $u(at-bs)=0$）と、それから直ちに従う基本的な計算規則は用いてよい。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。素イデアルは環全体と異なるものとし、零イデアルが素イデアルであればそれも数える（すなわち、素スペクトル $\mathrm{Spec}$ の元の個数を数える）。
$$A=\mathbb{Z}[x,y]/(x^2-2,y^3-2)$$
とおく。
$$S=\{n\in \mathbb{Z}:\gcd (n,2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 31)=1\}$$
とおく。$S$ は $2,3,5,7,31$ のどれでも割り切れない整数全体であり、$\pm 1$ を含み、$0$ は含まない。$S$ は $\mathbb{Z}$ の積閉集合である。標準準同型 $\mathbb{Z}\to A$ による $S$ の像を $A$ の積閉集合とみなし、局所化 $R=S^{-1}A$ を考える。$R$ の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアル・極大イデアルは環全体と異なるものとする。複素数体 $\mathbb{C}$ 上の二変数多項式環の剰余環
$$R=\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^3,x^2-y^3)$$
を考える。$R$ は $\mathbb{C}$ 上有限次元であることが知られている。$R$ の $\mathbb{C}$ ベクトル空間としての次元 ${\dim }_{\mathbb{C}}R$ を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。整数係数の 2 変数多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+1,y^3-x)$$
を考える。$A$ の素イデアル $P$ のうち、剰余環 $A/P$ が有限集合であり、かつその元の個数が $50$ 以下であるものの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の 2 変数多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Q}[x,y]/(x^3-xy,y^2-xy)$$
を考え、$\mathfrak{m}=(x,y)A$ とおく（$\mathfrak{m}$ は $A$ の極大イデアルである）。局所化 $A_{\mathfrak{m}}$ の $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間としての次元 ${\dim }_{\mathbb{Q}}{A}_{\mathfrak{m}}$ を求めよ。

環はすべて単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。整数環 $\mathbb{Z}$ の部分集合
$$S=\mathbb{Z}\setminus \left(2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}\cup 5\mathbb{Z}\right)$$
（$2,3,5$ のいずれでも割り切れない整数全体）は乗法的集合である。環
$$B=S^{-1}\left(\mathbb{Z}[x]/(x^4-1)\right)$$
の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Q}[x,y,z]/(z(x^2+y^2-3),z(xy-1))$$
を考える。$A$ の極小素イデアルの個数を $s$、$A$ のクルル次元を $d$ とするとき、組 $(s,d)$ をこの順に求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の 2 変数多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Q}[x,y]/(x^{12}-1,y^2-3)$$
を考える。$A$ の素イデアルの個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。${\mathbb{F}}_3$ を 3 元体とし，
$$R={\mathbb{F}}_3[x,y]/(x^2,xy,y^2)$$
とおく（以下，$x,y$ の $R$ における像も同じ文字で表す）。$R$ 加群 $M=R/xR$，$N=R/yR$ に対し，有限アーベル群 ${\mathrm{Tor}}_5^R(M,N)$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし，素イデアルは環全体と異なるものとする。剰余環
$$R=\mathbb{Z}[x]/(8,x^6-1)$$
と，その極大イデアル $\mathfrak{m}=(2,x^2+x+1)R$ を考える。$R$ の $\mathfrak{m}$ における局所化 $R_{\mathfrak{m}}$ は有限環である。$R_{\mathfrak{m}}$ の元の個数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアル・極大イデアルは環全体と異なるものとする。$$R=\mathbb{Z}[x]/(x^4+1)$$ とおく。$R$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ のうち、剰余体 $R/\mathfrak{m}$ の元の個数が $50$ 以下であるものの個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環 $A$ のクルル次元 $\dim A$ を、$A$ の素イデアルの真の増大列 ${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n$ の長さ $n$ の上限と定める。

$A$ を零環でないネーター環とする。次の同値を証明せよ。

$$A\text{ の素イデアルが有限個しかない}⟺A\text{ の極大イデアルが有限個しかなく、かつ }\dim A\le 1.$$

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- クルルの単項イデアル定理: ネーター環 $R$ の元 $x$ について、$xR$ を含む素イデアルのうち包含関係について極小なものの高さは $1$ 以下である。
- 素イデアル回避: 環 $R$ のイデアル $I$ と素イデアル ${\mathfrak{q}}_1,\dots ,{\mathfrak{q}}_r$ について、$I\subseteq {\mathfrak{q}}_1\cup \cdots \cup {\mathfrak{q}}_r$ ならば、ある $i$ について $I\subseteq {\mathfrak{q}}_i$ である。
- ネーター環の極小素イデアルは有限個であり、任意の環で、どの素イデアルもある極小素イデアルを含む。また、どの真のイデアルもある極大イデアルに含まれる。
- 局所化・剰余環の素イデアルの対応、およびネーター環の局所化・剰余環がネーター環であること。

この問題では、アーベル群を $\mathbb{Z}$ 加群とみなし、$\otimes ={\otimes }_{\mathbb{Z}}$、$\mathrm{Hom}={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}$、${\mathrm{Tor}}_1={\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}$、${\mathrm{Ext}}^1={\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1$ と書く。有限集合 $X$ の元の個数を $|X|$ で表す。

$A,B$ を有限アーベル群とする。次の等式を証明せよ。
$$|A\otimes B|=|{\mathrm{Tor}}_1(A,B)|=|\mathrm{Hom}(A,B)|=|{\mathrm{Ext}}^1(A,B)|.$$

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 有限アーベル群の基本定理: 有限アーベル群は、正の整数 $m_1,\dots ,m_r$ を用いて $\mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/m_r\mathbb{Z}$ と同型である（$r=0$ のときは自明な群）。
- $\otimes$ と ${\mathrm{Tor}}_1$ は各変数について有限直和と交換し、$\mathrm{Hom}$ と ${\mathrm{Ext}}^1$ は各変数について有限直和を有限直積（＝有限直和）に移す。
- $\mathrm{Tor}$ の第 1 変数に関する長完全列、$\mathrm{Ext}$ の第 1 変数に関する長完全列、および ${\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z},N)=0$、${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z},N)=0$、$\mathbb{Z}\otimes N\cong N$、$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},N)\cong N$（任意のアーベル群 $N$）。

$k$ を体、$n$ を正の整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を各 $x_i$ の次数を $1$ とする次数付き多項式環とする。$S$ の斉次イデアル $J$ に対し、$M=S/J$ の次数 $t$ の部分を $M_t$ とし（$t<0$ のとき $M_t=0$）、ヒルベルト関数を $H_{S/J}(t)={\dim }_k{M}_t$ $(t\in \mathbb{Z})$ と定める。また、十分大きいすべての整数 $t$ で $H_{S/J}(t)=P(t)$ となる有理数係数多項式 $P$ をヒルベルト多項式とよび、$P_{S/J}$ と書く。

$r$ を $1\le r\le n$ をみたす整数、$f_1,\dots ,f_r\in S$ をそれぞれ次数 $d_1,\dots ,d_r$（いずれも正の整数）の斉次多項式とし、$J_0=0$, $J_i=(f_1,\dots ,f_i)$ $(1\le i\le r)$ とおく。各 $i=1,\dots ,r$ について $f_i$ が $S/J_{i-1}$ 上の非零因子である（すなわち $g\in S$, $g{f}_i\in J_{i-1}$ ならば $g\in J_{i-1}$）と仮定する。

このとき、ヒルベルト多項式 $P_{S/J_r}$ の次数はちょうど $n-r$ であり、その最高次の係数は
$$\frac{d_1{d}_2\cdots d_r}{(n-r)!}$$
であることを証明せよ。

ただし、$S$ の斉次イデアル $J$ に対してヒルベルト多項式 $P_{S/J}$ が存在すること、および $t\ge 0$ のとき ${\dim }_k{S}_t=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{t+n}{n}\right)$ であることは用いてよい。

$k$ を代数的閉体とし、多項式環 $S=k[x,y,z,w]$ を各変数の次数を $1$ とする次数付き環とみなす。行列 $$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& w\end{array}\right)$$ の $2$ 次小行列式で生成される斉次イデアル $$I=(xz-y^2,xw-yz,yw-z^2)$$ を考える（$I$ は ${\mathbb{P}}^3$ の捩れ三次曲線の斉次イデアルである）。次数付き環 $A=S/I^2$ のヒルベルト関数を $H_A(n)={\dim }_k{A}_n$ とするとき、十分大きなすべての整数 $n$ に対して $H_A(n)=P_A(n)$ をみたす多項式 $P_A(n)$（ヒルベルト多項式）を求めよ。