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可換環論・ホモロジー代数の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学可換環論・ホモロジー代数

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。 $R = Z [x]$ （整数係数の一変数多項式環）とし、 $R$ 加群
$M = R / (3, x), N = R / (9, 3 x, x^{2})$
を考える。 $Tor_{1}^{R} (M, N)$ は有限集合である。その位数（元の個数）を求めよ。

この問題で使うもの

正則列とコシュル複体（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$M = R / (3, x)$ は正則列 $3, x$ で割った剰余加群なので、Koszul 複体が $M$ の自由分解になります。それに $N$ をテンソルした複体のホモロジーを計算しましょう。

ヒント 2

テンソルした複体は $0 \to N \to N^{2} \to N \to 0$ で、写像は $n \mapsto (x n, - 3 n)$ と $(u, v) \mapsto 3 u + xv$ です。 $N$ の元を $a + b x$ （ $a \in Z /9$ , $b \in Z /3$ ）と表し、 $3 (a + b x) = 3 a$ 、 $x (a + b x) = a ˉ x$ を使いましょう。

ヒント 3

$d_{1} (a + b x, c + d x) = 3 a + c ˉ x$ なので、 $ker d_{1}$ は $a \in {0, 3, 6}$ 、 $c \in {0, 3, 6}$ 、 $b, d$ は任意の元からなり、位数は $81$ です。あとは $im d_{2}$ の位数を求めて割りましょう。

答えと解説

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解説を読む

1. $M$ の自由分解（Koszul 複体）

$3$ は $R = Z [x]$ の零因子でなく、 $x$ は $R / (3) = F_{3} [x]$ の零因子でない。したがって $3, x$ は $R$ の正則列であり、Koszul 複体
$0 \to R δ_{2} R^{2} δ_{1} R \to M \to 0, δ_{2} (r) = (x r, - 3 r), δ_{1} (u, v) = 3 u + xv$
は $M = R / (3, x)$ の自由分解になる。

2. $N$ とのテンソル積

これに $\otimes_{R} N$ をとると、複体
$0 \to N d_{2} N^{2} d_{1} N \to 0, d_{2} (n) = (x n, - 3 n), d_{1} (u, v) = 3 u + xv$
が得られる。 $Tor_{1}^{R} (M, N) = ker d_{1} / im d_{2}$ である。

3. $N$ の構造

$N = Z [x] / (9, 3 x, x^{2})$ の元は $a + b x$ （ $a \in Z /9 Z$ , $b \in Z /3 Z$ ）と一意に書ける。よって $∣ N ∣ = 27$ である。また $3 \cdot (a + b x) = 3 a$ 、 $x \cdot (a + b x) = a ˉ x$ （ $a ˉ$ は $a$ の $3$ を法とする剰余）である。

4. $ker d_{1}$ の位数

$u = a + b x$ , $v = c + d x$ とおくと
$d_{1} (u, v) = 3 u + xv = 3 a + c ˉ x .$
これが $0$ となる条件は $3 a \equiv 0 (mod 9)$ かつ $c \equiv 0 (mod 3)$ である。 $a \in Z /9 Z$ で $3 a \equiv 0$ となるのは $a \in {0, 3, 6}$ の $3$ 通り、 $c \in {0, 3, 6}$ の $3$ 通りである。 $b, d \in Z /3 Z$ は任意でそれぞれ $3$ 通りある。よって
$∣ ker d_{1} ∣ = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81.$

5. $im d_{2}$ の位数

$n = e + f x$ とおくと $d_{2} (n) = (e ˉ x, - 3 e)$ である。これは $e mod 3$ だけで決まり、 $e \neq \equiv 0 (mod 3)$ なら $0$ でない。よって $ker d_{2} = {e \equiv 0 (mod 3)}$ で、 $∣ ker d_{2} ∣ = 3 \cdot 3 = 9$ となる。したがって
$∣ im d_{2} ∣ = \frac{∣ N ∣}{∣ ker d _{2} ∣} = \frac{27}{9} = 3.$

6. 結論

$∣ Tor_{1}^{R} (M, N) ∣ = \frac{∣ ker d _{1} ∣}{∣ im d _{2} ∣} = \frac{81}{3} = 27.$

（検算） $Tor_{0} = N / (3, x) N ≅ F_{3}$ で位数は $3$ 、 $Tor_{2} = ker d_{2}$ で位数は $9$ である。有限複体の各項の位数の交代積はホモロジーの位数の交代積に等しいので
$\frac{∣ Tor _{0} ∣ ∣ Tor _{2} ∣}{∣ Tor _{1} ∣} = \frac{∣ N ∣ \cdot ∣ N ∣}{∣ N ^{2} ∣} = 1$
となる。これより $∣ Tor_{1} ∣ = 3 \cdot 9 = 27$ となり、上の計算と一致する。

別解

$I = (3, x)$ とおくと $M = R / I$ 、 $N = R / (9, 3 x, x^{2}) = R / I^{2}$ である。

一般に $Tor_{1}^{R} (R / I, R / J) ≅ (I \cap J) / (I J)$ が成り立つ。ここで $J = I^{2}$ なので $I \cap J = I^{2}$ 、 $I J = I^{3}$ である。したがって $Tor_{1}^{R} (M, N) ≅ I^{2} / I^{3}$ となる。

$3, x$ は $R = Z [x]$ の正則列なので、 $gr_{I} R ≅ (R / I) [X, Y]$ である。 $R / I = F_{3}$ だから、 $I^{2} / I^{3}$ は $F_{3}$ 上の 2 変数 2 次斉次多項式の空間に同型で、次元は 3 である。生成元は $9, 3 x, x^{2}$ の像である。

よって $∣ Tor_{1} ∣ = 3^{3} = 27$ 。

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