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可換環論・ホモロジー代数の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学可換環論・ホモロジー代数

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。 $k$ を体とし、 $S = k [x, y, z, w]$ を各変数の次数が $1$ の次数付き多項式環とする。単項式イデアル
$I = (x^{2}, x y, y^{3} z)$
による剰余環 $R = S / I$ を考える。 $R$ は次数付き環 $R = ⨁_{n \geq 0} R_{n}$ であり、そのヒルベルト関数を $H_{R} (n) = dim_{k} R_{n}$ $(n \geq 0)$ と定める。十分大きいすべての整数 $n$ に対して $H_{R} (n) = P_{R} (n)$ をみたす多項式 $P_{R} (n) \in Q [n]$ （ヒルベルト多項式）を求めよ。

この問題で使うもの

射影多様体のヒルベルト多項式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$I$ は単項式イデアルなので、 $R_{n}$ の基底として $I$ に属さない次数 $n$ の単項式がとれます。それらを数えましょう。

ヒント 2

単項式 $x^{a} y^{b} z^{c} w^{d}$ を、 $x$ の指数 $a$ で場合分けします。 $a = 1$ なら $b = 0$ が必要です。 $a = 0$ なら、 $y^{3} z$ で割り切れない条件を $b$ の値（ $0, 1, 2$ と $3$ 以上）で場合分けします。

ヒント 3

$a = 1$ の単項式は $n$ 個、 $a = 0$ かつ $b = 0, 1, 2$ の単項式はそれぞれ $n + 1, n, n - 1$ 個です。残りは $a = 0, b \geq 3$ の場合で、このとき $c = 0$ が必要です。

答えと解説

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5 n - 2

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解説を読む

$I$ は単項式イデアルなので、 $R_{n}$ の $k$ 上の基底として、 $I$ に属さない次数 $n$ の単項式（標準単項式）の像がとれる。したがって $H_{R} (n)$ は、 $x^{2}, x y, y^{3} z$ のどれでも割り切れない次数 $n$ の単項式 $x^{a} y^{b} z^{c} w^{d}$ $(a + b + c + d = n)$ の個数である。

$a \geq 2$ の場合： $x^{2}$ で割り切れるので除外する。

$a = 1$ の場合： $x y$ で割り切れないためには $b = 0$ が必要である。このとき $x z^{c} w^{d}$ $(c + d = n - 1)$ はどれも $I$ の生成元で割り切れない。個数は $z, w$ の次数 $n - 1$ の単項式の個数で $n$ 個（ $n \geq 0$ で成立）。

$a = 0$ の場合：条件は「 $y^{3} z$ で割り切れない」、すなわち「 $b \geq 3$ かつ $c \geq 1$ 」でないことである。
- $b = 0$ ： $z^{c} w^{d}$ $(c + d = n)$ で $n + 1$ 個。
- $b = 1$ ： $y z^{c} w^{d}$ $(c + d = n - 1)$ で $n$ 個（ $n \geq 0$ で成立）。
- $b = 2$ ： $y^{2} z^{c} w^{d}$ $(c + d = n - 2)$ で $n - 1$ 個（ $n \geq 1$ で成立）。
- $b \geq 3$ ： $c = 0$ でなければならず、 $y^{b} w^{n - b}$ $(3 \leq b \leq n)$ で $n - 2$ 個（ $n \geq 2$ で成立）。

以上を合計すると、 $n \geq 2$ のとき
$H_{R} (n) = n + (n + 1) + n + (n - 1) + (n - 2) = 5 n - 2.$

（検算） $n = 2$ ：次数 $2$ の単項式は $(3 5) = 10$ 個あり、そのうち $I$ に属するのは $x^{2}, x y$ の $2$ 個なので $H_{R} (2) = 8 = 5 \cdot 2 - 2$ 。 $n = 3$ ：次数 $3$ の単項式は $(3 6) = 20$ 個ある。 $I$ に属するのは、 $x^{2}$ の倍数 $x^{3}, x^{2} y, x^{2} z, x^{2} w$ の $4$ 個と、 $x^{2}$ の倍数でない $x y$ の倍数 $x y^{2}, x y z, x y w$ の $3$ 個である（ $y^{3} z$ は次数 $4$ なので含まれない）。よって $H_{R} (3) = 20 - 7 = 13 = 5 \cdot 3 - 2$ 。なお $H_{R} (0) = 1$ 、 $H_{R} (1) = 4$ であり、 $n = 0, 1$ では $5 n - 2$ と一致しない。

したがってヒルベルト多項式は
$P_{R} (n) = 5 n - 2$
である。

別解

$I$ は単項式イデアルなので、 $H_{R} (n)$ は $I$ に属さない次数 $n$ の単項式の個数に等しい。

$x$ の指数で場合分けする。

(i) $x$ の指数が $0$ のとき、 $y^{a} z^{b} w^{c}$ ( $a + b + c = n$ ) で $y^{3} z$ で割り切れないものを数える。次数 $n$ の単項式は全部で $(2 n + 2)$ 個ある。 $y^{3} z$ で割り切れるものは $y^{3} z \cdot (次数 n - 4 の単項式)$ と書け、 $(2 n - 2)$ 個ある( $n \geq 2$ )。よって個数は
$(2 n + 2) - (2 n - 2) = \frac{( n ^{2} + 3 n + 2 ) - ( n ^{2} - 5 n + 6 )}{2} = 4 n - 2.$

(ii) $x$ の指数が $1$ のとき、 $x y \in I$ より $y$ は含まれない。 $y^{3} z$ は $y$ を含まないので条件にならない。残りは $x z^{b} w^{c}$ ( $b + c = n - 1$ ) で、 $n$ 個ある。

(iii) $x$ の指数が $2$ 以上のものは $x^{2} \in I$ なので除く。

したがって $n \geq 2$ のとき $H_{R} (n) = (4 n - 2) + n = 5 n - 2$ 。

検算: $n = 4$ のとき、(i) は $(2 6) - (2 2) = 15 - 1 = 14$ 、(ii) は $4$ 個で、合計 $18 = 5 \cdot 4 - 2$ となり一致する。

よって $P_{R} (n) = 5 n - 2$ 。

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