可換環論・ホモロジー代数の問題

1. $S/I$ のヒルベルト多項式. 写像 $\nu :{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^3,(s:t)\mapsto (s^3:s^{2}t:s{t}^2:t^3)$ の像を $C$ とすると、$I$ は $C$ の斉次素イデアルであり、$S/I\cong k[s^3,s^{2}t,s{t}^2,t^3]$ となる。この同型で $(S/I{)}_n$ は $s,t$ の $3n$ 次斉次式全体に対応するので
$$H_{S/I}(n)=3n+1(n\ge 0).$$

2. 完全列. 次数付き加群の完全列
$$0\to I/I^2\to S/I^2\to S/I\to 0$$
があり、ヒルベルト多項式は完全列に関して加法的なので $P_A(n)=P_{S/I}(n)+P_{I/I^2}(n)$ である。

3. $I/I^2$ のヒルベルト多項式. 有限生成次数付き $S$ 加群 $M$ のヒルベルト多項式は、付随する連接層 $\tilde{M}$ を用いて $P_M(n)=\chi (\tilde{M}(n))$ で与えられる。$\widetilde{I/I^2}={\mathcal{I}}_C/{\mathcal{I}}_C^2$ は $C$ の余法束 $N^{\ast }$ である。$C\cong {\mathbb{P}}^1$ は非特異で ${\mathbb{P}}^3$ 内の局所完全交叉（余次元 $2$）なので、$N^{\ast }$ は $C$ 上の階数 $2$ の局所自由層である。

法束の完全列 $0\to T_C\to T_{{\mathbb{P}}^3}{|}_C\to N\to 0$ を使う。オイラー完全列 $0\to \mathcal{O}\to \mathcal{O}(1{)}^4\to T_{{\mathbb{P}}^3}\to 0$ より $\mathrm{deg}{T}_{{\mathbb{P}}^3}{|}_C=4\mathrm{deg}{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^3}(1){|}_C=4\cdot 3=12$ である。また $T_C\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(2)$ だから $\mathrm{deg}N=12-2=10$、すなわち $\mathrm{deg}{N}^{\ast }=-10$ となる。

${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^3}(1){|}_C\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(3)$ より $\mathrm{deg}{N}^{\ast }(n)=-10+2\cdot 3n=6n-10$ である。${\mathbb{P}}^1$（種数 $0$）上のリーマン・ロッホの定理により
$$\chi (N^{\ast }(n))=\mathrm{deg}{N}^{\ast }(n)+\mathrm{rank}{N}^{\ast }\cdot (1-0)=6n-10+2=6n-8.$$

4. 結論.
$$P_A(n)=(3n+1)+(6n-8)=9n-7.$$

検算1（重複度）. 最高次の係数 $9$ は、$\mathrm{deg}C=3$ と、$C$ の生成点での局所環 $R=S_I/I^2{S}_I$ の長さ $\ell (R)=\ell (B/{\mathfrak{m}}^2)=1+2=3$（$B$ は $2$ 次元正則局所環）の積 $3\cdot 3$ に一致する。

検算2（小さい次数）. $(I^2{)}_3=0$ なので $H_A(3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20=9\cdot 3-7$ である。$(I^2{)}_4$ は $6$ 個の積 $q_i{q}_j$ で張られ、これらは一次独立である（$q_i$ たちの定める ${\mathbb{P}}^3⇢{\mathbb{P}}^2$ は支配的なので、$q_i$ に $2$ 次の関係式はない）。よって $H_A(4)=35-6=29=9\cdot 4-7$ となり、整合する。

答え: $P_A(n)=9n-7$

$I$ は局所完全交叉の曲線 $C\cong {\mathbb{P}}^1$（捩れ三次曲線）のイデアルである。完全列 $0\to I/I^2\to S/I^2\to S/I\to 0$ より、$H_A(n)=H_{S/I}(n)+H_{I/I^2}(n)$ が成り立つ。

1. $S/I$ のヒルベルト多項式は $C$ 上の ${\mathcal{O}}_C(n)={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(3n)$ の $\chi$ に等しく、$3n+1$ である。

2. $I/I^2$ に対応する層は余法束 $N^{\vee }$ である。法束 $N$ は階数 $2$ で、次数は $\mathrm{deg}N=\mathrm{deg}{T}_{{\mathbb{P}}^3}{|}_C-\mathrm{deg}{T}_C=4\cdot 3-2=10$ となる。${\mathbb{P}}^1$ 上の分裂により $N\cong \mathcal{O}(5)\oplus \mathcal{O}(5)$ である。よって $N^{\vee }\cong \mathcal{O}(-5{)}^{\oplus 2}$ となる。$\mathcal{O}(n){|}_C=\mathcal{O}(3n)$ だから、$\chi (N^{\vee }(n))=2(3n-5+1)=6n-8$ である。

3. 以上を合わせて $P_A(n)=(3n+1)+(6n-8)=9n-7$ を得る。

検算として $n=4$ を調べる。$I^2$ の $4$ 次部分は 3 つの 2 次生成元の積 6 個で生成される。生成元間の関係式（syzygy）は 3 次にあるので、4 次では 6 個の積が一次独立で、$\dim (I^2{)}_4=6$ となる。したがって $H_A(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)-6=35-6=29$ で、$9\cdot 4-7=29$ と一致する。