可換環論・ホモロジー代数の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学可換環論・ホモロジー代数

$k$ を体、 $n$ を正の整数とし、 $S = k [x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}]$ を各 $x_{i}$ の次数を $1$ とする次数付き多項式環とする。 $S$ の斉次イデアル $J$ に対し、 $M = S / J$ の次数 $t$ の部分を $M_{t}$ とし（ $t < 0$ のとき $M_{t} = 0$ ）、ヒルベルト関数を $H_{S / J} (t) = dim_{k} M_{t}$ $(t \in Z)$ と定める。また、十分大きいすべての整数 $t$ で $H_{S / J} (t) = P (t)$ となる有理数係数多項式 $P$ をヒルベルト多項式とよび、 $P_{S / J}$ と書く。

$r$ を $1 \leq r \leq n$ をみたす整数、 $f_{1}, \dots, f_{r} \in S$ をそれぞれ次数 $d_{1}, \dots, d_{r}$ （いずれも正の整数）の斉次多項式とし、 $J_{0} = 0$ , $J_{i} = (f_{1}, \dots, f_{i})$ $(1 \leq i \leq r)$ とおく。各 $i = 1, \dots, r$ について $f_{i}$ が $S / J_{i - 1}$ 上の非零因子である（すなわち $g \in S$ , $g f_{i} \in J_{i - 1}$ ならば $g \in J_{i - 1}$ ）と仮定する。

このとき、ヒルベルト多項式 $P_{S / J_{r}}$ の次数はちょうど $n - r$ であり、その最高次の係数は
$\frac{d _{1} d _{2} \dots d _{r}}{( n - r )!}$
であることを証明せよ。

ただし、 $S$ の斉次イデアル $J$ に対してヒルベルト多項式 $P_{S / J}$ が存在すること、および $t \geq 0$ のとき $dim_{k} S_{t} = (n t + n)$ であることは用いてよい。

この問題で使うもの

射影多様体のヒルベルト多項式（説明と入口の問題）
正則列とコシュル複体（説明と入口の問題）
ヒルベルト・サミュエル関数と重複度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（76 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

1 つの非零因子で割るとヒルベルト多項式がどう変わるかを補題として示し、 $r$ に関する帰納法を使う。

ヒント 2

$f$ が次数 $d$ の斉次非零因子なら、各次数で $0 \to M_{t - d} f M_{t} \to (M / f M)_{t} \to 0$ が完全になり、 $H_{M / f M} (t) = H_{M} (t) - H_{M} (t - d)$ が成り立つ。

ヒント 3

$P (t) = \frac{e}{m !} t^{m} + \dots$ のとき、 $P (t) - P (t - d)$ の $t^{m - 1}$ の係数を二項定理で計算する。出発点は $H_{S} (t) = (n t + n)$ で、その最高次の係数は $\frac{1}{n !}$ である。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

非零因子であることから、各次数で $f$ 倍写像 $M_{t - d} \to M_{t}$ が単射であり、その余核が $(S / (J + f S))_{t}$ であることを示して、 $H_{S / J^{'}} (t) = H_{S / J} (t) - H_{S / J} (t - d)$ を導いている（3 点）
ヒルベルト多項式の一意性（多項式が十分大きい $t$ で一致すれば等しい）を用いて、多項式の等式 $P_{S / J^{'}} (t) = P_{S / J} (t) - P_{S / J} (t - d)$ に移っている（1 点）
二項定理で $P (t) - P (t - d)$ の次数が 1 下がり、最高次の係数が $d$ 倍・ $m$ 倍されることを、低次の項の寄与が次数 $m - 2$ 以下であることも含めて計算している（3 点）
$P_{S} (t) = (n t + n)$ の次数 $n$ 、最高次係数 $\frac{1}{n !}$ を出発点として確認している（1 点）
$r$ に関する帰納法で、各段階で補題の前提（次数 $\geq 1$ 、非零因子、 $d_{i} \geq 1$ ）が満たされることを $r \leq n$ から確かめて結論を導いている（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

準備（ヒルベルト多項式の一意性）. 2 つの多項式 $P, Q$ が十分大きいすべての整数 $t$ で一致すれば、 $P - Q$ は無限個の根をもつので $P = Q$ である。よって $P_{S / J}$ は一意に定まり、「十分大きい $t$ で $H_{S / J} (t) = Q (t)$ 」をみたす多項式 $Q$ を見つければ $P_{S / J} = Q$ である。

補題. $J$ を $S$ の斉次イデアル、 $f$ を次数 $d \geq 1$ の斉次多項式で $S / J$ 上の非零因子とし、 $J^{'} = J + f S$ とおく。 $P_{S / J}$ の次数が $m \geq 1$ で最高次の係数が $\frac{e}{m !}$ $(e \neq = 0)$ ならば、 $P_{S / J^{'}}$ の次数は $m - 1$ で最高次の係数は $\frac{d e}{( m - 1 )!}$ である。

補題の証明. $M = S / J$ とおく。各整数 $t$ について、 $f$ 倍写像 $μ_{t} : M_{t - d} \to M_{t}$ , $g ˉ \mapsto f g$ を考える。 $J$ は斉次なので $f$ 倍は次数を $d$ だけ上げる $k$ 線形写像として well-defined である。 $f$ が $M$ 上の非零因子なので $μ_{t}$ は単射である。また $J^{'} = J + f S$ も斉次イデアルで、 $(S / J^{'})_{t} = M_{t} / μ_{t} (M_{t - d})$ である（ $f S$ の次数 $t$ の部分は $f S_{t - d}$ であるから）。したがって $k$ ベクトル空間の完全列
$0 \to M_{t - d} μ_{t} M_{t} \to (S / J^{'})_{t} \to 0$
が得られ、次元を比べて
$H_{S / J^{'}} (t) = H_{S / J} (t) - H_{S / J} (t - d) (t \in Z)$
である。 $t$ と $t - d$ がともに十分大きければ右辺は $P_{S / J} (t) - P_{S / J} (t - d)$ に等しいので、準備により
$P_{S / J^{'}} (t) = P_{S / J} (t) - P_{S / J} (t - d) .$

$P_{S / J} (t) = \frac{e}{m !} t^{m} + c t^{m - 1} + R (t)$ （ $R$ の次数は $m - 2$ 以下、 $m = 1$ のときは $R = 0$ ）と書く。二項定理より
$t^{m} - (t - d)^{m} = m d t^{m - 1} + (次数 m - 2 以下の項)$
であり、 $t^{m - 1} - (t - d)^{m - 1}$ と $R (t) - R (t - d)$ の次数はいずれも $m - 2$ 以下である（定数項どうしは打ち消すから）。よって
$P_{S / J^{'}} (t) = \frac{e}{m !} \cdot m d t^{m - 1} + (次数 m - 2 以下の項) = \frac{d e}{( m - 1 )!} t^{m - 1} + \dots$
であり、 $d e \neq = 0$ なので $P_{S / J^{'}}$ の次数はちょうど $m - 1$ 、最高次の係数は $\frac{d e}{( m - 1 )!}$ である。（補題の証明終わり）

本題の証明. $i = 0, 1, \dots, r$ について次の主張 $(*)_{i}$ を $i$ に関する帰納法で示す。
$(*)_{i} : P_{S / J_{i}} の次数は n - i で、最高次の係数は \frac{d _{1} \dots d _{i}}{( n - i )!} (i = 0 のときは \frac{1}{n !}) .$

$i = 0$ のとき: $J_{0} = 0$ で、 $t \geq 0$ において
$H_{S} (t) = (n t + n) = \frac{( t + n ) ( t + n - 1 ) \dots ( t + 1 )}{n !}$
である。右辺は $t$ の $n$ 次多項式で最高次の係数は $\frac{1}{n !}$ なので、準備により $P_{S}$ はこの多項式であり、 $(*)_{0}$ が成り立つ。

$1 \leq i \leq r$ として $(*)_{i - 1}$ を仮定する。 $P_{S / J_{i - 1}}$ の次数は $m = n - (i - 1)$ で、 $i \leq r \leq n$ より $m \geq 1$ である。最高次の係数は $\frac{e}{m !}$ , $e = d_{1} \dots d_{i - 1} \neq = 0$ と書ける。 $f_{i}$ は次数 $d_{i} \geq 1$ の斉次多項式で $S / J_{i - 1}$ 上の非零因子であり、 $J_{i} = J_{i - 1} + f_{i} S$ であるから、補題が適用できて、 $P_{S / J_{i}}$ の次数は $m - 1 = n - i$ 、最高次の係数は
$\frac{d _{i} \cdot d _{1} \dots d _{i - 1}}{( n - i )!} = \frac{d _{1} \dots d _{i}}{( n - i )!}$
となる。よって $(*)_{i}$ が成り立つ。

帰納法により $(*)_{r}$ が成り立つ。すなわち、 $P_{S / J_{r}}$ の次数はちょうど $n - r$ であり、最高次の係数は $\frac{d _{1} d _{2} \dots d _{r}}{( n - r )!}$ である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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