自由分解による Tor・Ext の計算

一般の可換環 $R$ 上で加群の自由分解を作れる。 $N$ とのテンソル積や $Hom (-, N)$ をとった複体のホモロジーとして、 $Tor_{i}^{R} (M, N)$ , $Ext_{R}^{i} (M, N)$ を計算できる。 $R = Z /36$ 上の $Z /6$ の周期的な分解 $\dots 6 R 6 R \to Z /6 \to 0$ のような場合に、 $Ext_{R}^{2} (M, N)$ の位数を求められる

前提

$Z$ 上の Tor と Ext （大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

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算数中学高校大学大学院

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剰余環のイデアルと単元の個数（大学数学代数学）
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$Z$ 上の Tor と Ext （大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

説明

一般の可換環 $R$ （単位元をもつ）上の加群 $M$ について、自由加群を次々につないだ自由分解を作り、それに $- \otimes_{R} N$ や $Hom_{R} (-, N)$ を施した複体のホモロジーとして $Tor_{i}^{R} (M, N)$ 、 $Ext_{R}^{i} (M, N)$ を計算する技能です。 $Z$ 上では分解が長さ 2 で終わり $Tor_{i}, Ext^{i}$ は $i \geq 2$ で $0$ でしたが、 $R = Z / p^{k}$ のような環では分解が無限に続き、高次の $Tor_{i}, Ext^{i}$ が $0$ でなくなります。そうした高次の群の位数を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

自由分解を作る. $M$ の自由分解とは、自由 $R$ 加群 $F_{i}$ と完全列
$\dots \to F_{2} d_{2} F_{1} d_{1} F_{0} ε M \to 0$
のことです（完全とは各所で「前の写像の像 $=$ 次の写像の核」）。作り方は機械的で、まず $M$ の生成元をとって全射 $ε : F_{0} \to M$ を作り、その核 $ker ε$ の生成元をとって $d_{1} : F_{1} \to F_{0}$ を作り（像が $ker ε$ ）、次に $ker d_{1}$ の生成元から $d_{2}$ を作り…と「核を自由加群で覆う」ことを繰り返します。例えば $R = Z / n$ 、 $M = R / a R$ （ $a, b$ は正の整数で $ab = n$ ）なら、 $Z / n$ 上で $a$ 倍写像 $R \to R$ の核は $b R$ 、 $b$ 倍写像の核は $a R$ なので
$\dots a R b R a R \to R / a R \to 0$
と $a, b$ が交互に並ぶ分解が得られます（ $a = b$ のときが周期 1 の分解）。

Tor と Ext の定義. $M$ の項を取り除いた複体 $F_{∙} : \dots \to F_{2} \to F_{1} \to F_{0} \to 0$ に関手を施してから、ホモロジーをとります:
$Tor_{i}^{R} (M, N) = \frac{ker ( d _{i} \otimes 1 : F _{i} \otimes N \to F _{i - 1} \otimes N )}{im ( d _{i + 1} \otimes 1 )}, Ext_{R}^{i} (M, N) = \frac{ker ( d _{i + 1}^{*} : Hom ( F _{i} , N ) \to Hom ( F _{i + 1} , N ))}{im ( d _{i}^{*} )}$
（ $d^{*} (φ) = φ \circ d$ 、 $d_{0} = 0$ ）。これは $Z$ 上で $Tor_{1}, Ext^{1}$ を定めたやり方を、すべての次数に広げたものです。結果が分解の選び方によらないことが知られています。次数 $0$ では、テンソル積の右完全性から $Tor_{0} = coker (d_{1} \otimes 1) ≅ M \otimes N$ 、 $Hom (-, N)$ の左完全性から $Ext^{0} = ker (d_{1}^{*}) ≅ Hom (M, N)$ となります。

$F_{i} = R$ のときは「掛け算」になる. $R \otimes_{R} N ≅ N$ 、 $Hom_{R} (R, N) ≅ N$ （ $φ \mapsto φ (1)$ ）で、 $d$ が $a$ 倍写像なら $d \otimes 1$ も $d^{*}$ も $N$ 上の $a$ 倍写像になります（ $(φ \circ d) (1) = φ (a) = a φ (1)$ 、 $R$ が可換なので $a$ 倍は $R$ 準同型）。したがって $Ext^{i}$ は「 $N$ 上の $d_{i + 1}$ 倍の核」を「 $N$ 上の $d_{i}$ 倍の像」で割ったもの、 $Tor_{i}$ は「 $d_{i}$ 倍の核」を「 $d_{i + 1}$ 倍の像」で割ったものになります。

手順

$M$ の生成元をとって全射 $ε : F_{0} \to M$ を作り、 $ker ε$ を求める
核の生成元から次の写像を作ることを繰り返し、自由分解 $\dots \to F_{2} d_{2} F_{1} d_{1} F_{0}$ を求めたい次数より 1 つ先まで書く。 $R = Z / n$ 、 $M = R / a R$ （ $ab = n$ ）なら $d_{1} = a, d_{2} = b, d_{3} = a, \dots$ と交互
$M$ を外した複体 $F_{∙}$ に $- \otimes_{R} N$ （Tor のとき）または $Hom_{R} (-, N)$ （Ext のとき）を施す。 $F_{i} = R$ なら各項は $N$ 、写像は $N$ 上の $d_{i}$ 倍
求めたい次数 $i$ で、出ていく写像の核と入ってくる写像の像を求める: $Ext^{i} = ker (d_{i + 1} 倍) / im (d_{i} 倍)$ 、 $Tor_{i} = ker (d_{i} 倍) / im (d_{i + 1} 倍)$
商の位数を $∣ ker ∣/∣ im ∣$ で計算する

例題

$R = Z /8$ とし、 $M = Z /2$ 、 $N = Z /4$ を自然に $R$ 加群とみなす。 $Ext_{R}^{2} (M, N)$ の位数を求めよ。

例題の解答

手順 1. $M = R /2 R$ なので $ε : R \to M$ （ $1 \mapsto 1$ ）は全射で、 $ker ε = 2 R = {0, 2, 4, 6}$ 。

手順 2. $d_{1} : R 2 R$ の像は $2 R = ker ε$ 。 $d_{1}$ の核は ${r \in Z /8 ∣ 2 r = 0} = {0, 4} = 4 R$ なので $d_{2} : R 4 R$ 。 $d_{2}$ の核は ${r ∣ 4 r = 0} = 2 R$ なので $d_{3} : R 2 R$ 。こうして
$\dots 2 R 4 R 2 R \to Z /2 \to 0$
（ $d_{1} = 2, d_{2} = 4, d_{3} = 2, \dots$ ）。

手順 3. $M$ を外した $F_{∙}$ に $Hom_{R} (-, N)$ を施すと
$N 2 N 4 N 2 N \to \dots (N = Z /4, 次数 0, 1, 2, 3, \dots)$

手順 4. 次数 $2$ では、出ていく写像は $d_{3}^{*} = 2$ 倍、入ってくる写像は $d_{2}^{*} = 4$ 倍。 $Z /4$ 上で $ker (2 倍) = {0, 2}$ 、 $im (4 倍) = {0}$ 。

手順 5. $Ext_{R}^{2} (M, N) ≅ {0, 2} / {0}$ で、位数は $2/1 = 2$ 。

答え: $2$

よくある誤り

分解の写像をすべて同じ掛け算だと思い込む誤り。 $R = Z /8$ 、 $M = Z /2$ で $\dots 2 R 2 R \to Z /2$ とすると、 $2$ 倍の核 $4 R$ と像 $2 R$ が一致せず完全でない。正しくは核 $4 R$ を覆う $4$ 倍が入り、 $d_{1} = 2, d_{2} = 4, d_{3} = 2, \dots$ と交互（ $Z /36$ 上の $Z /6$ のように $a^{2} = n$ のときだけ周期 1）。
$Z$ 上と同じく 2 次以上は消えると考え $Ext_{R}^{2} (M, N) = 0$ としてしまう誤り。 $Z /8$ 上の $Z /2$ の分解は無限に続き、正しくは例のように $Ext_{Z /8}^{2} (Z /2, Z /4) ≅ Z /2 \neq = 0$ 。
Ext と Tor で核と像をとる写像の向きを取り違える誤り。Ext では矢印が逆向きになるので、正しくは $Ext^{i} = ker (d_{i + 1}^{*}) / im (d_{i}^{*})$ 、 $Tor_{i} = ker (d_{i} \otimes 1) / im (d_{i + 1} \otimes 1)$ 。例: $Tor_{2}^{Z /8} (Z /2, Z /4) = ker (4 倍) / im (2 倍) = (Z /4) / {0, 2}$ で位数 $2$ 。
関手を施す前の分解そのもの $\dots \to F_{1} \to F_{0} \to M \to 0$ のホモロジーをとってしまう誤り。この列は完全なのでホモロジーはすべて $0$ で、何の情報も得られない。正しくは $M$ を外した $F_{∙}$ に $- \otimes N$ や $Hom (-, N)$ を施してからホモロジーをとる。そのとき次数 $0$ のホモロジー・コホモロジーとして $Tor_{0} = coker (d_{1} \otimes 1) ≅ M \otimes N$ 、 $Ext^{0} = ker (d_{1}^{*}) ≅ Hom (M, N)$ が現れる（上の例では $Ext^{0} = ker (2 倍 on Z /4) = {0, 2} ≅ Hom (Z /2, Z /4)$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。 $R = Z /27 Z$ とし、 $M = Z /3 Z$ , $N = Z /9 Z$ を自然な全射 $R \to M$ , $R \to N$ により $R$ 加群とみなす。 $Tor_{2}^{R} (M, N)$ の位数を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
環 $R = Z /36 Z$ とし、 $M = Z /6 Z$ , $N = Z /12 Z$ を自然な $R$ 加群とみなす（ $N$ は $Z /36 Z \to Z /12 Z$ を通して $R$ 加群とする）。 $R$ 加群 $Ext_{R}^{2} (M, N)$ の位数を求めよ。

この技能の次に学べること

正則列とコシュル複体（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
局所アルティン環上の極小自由分解とベッチ数（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）