加群のテンソル積

テンソル積 $M{\otimes }_{R}N$ は、記号 $m\otimes n$（$m\in M,n\in N$）の有限和全体に、規則 $(m+m^{\prime })\otimes n=m\otimes n+m^{\prime }\otimes n$、$m\otimes (n+n^{\prime })=m\otimes n+m\otimes n^{\prime }$、$(rm)\otimes n=m\otimes (rn)=r(m\otimes n)$ だけを課してできる $R$ 加群です。この作り方から「$M\times N$ から $R$ 加群 $P$ への双線形写像 $\beta$ は、$m\otimes n\mapsto \beta (m,n)$ という $R$ 線形写像 $M{\otimes }_{R}N\to P$ をただ 1 つ定める」という性質が成り立ち、写像を作るときはこれを使います。

$R/I{\otimes }_{R}M\cong M/IM$ の理由: 写像 $(\bar{r},m)\mapsto \overline{rm}\in M/IM$ は、$r$ を $r+i$（$i\in I$）に替えても差 $im\in IM$ が消えるので矛盾なく定まり、双線形です。よって $\phi :R/I\otimes M\to M/IM,\bar{r}\otimes m\mapsto \overline{rm}$ ができます。逆向きに $\psi :M/IM\to R/I\otimes M,\bar{m}\mapsto \bar{1}\otimes m$ を考えると、$i\in I$ に対し $\bar{1}\otimes im=\bar{i}\otimes m=\bar{0}\otimes m=0$ なので $IM$ の元は $0$ に送られ、矛盾なく定まります。$\bar{r}\otimes m=\bar{1}\otimes rm$ に注意すると $\phi ,\psi$ は互いに逆写像です。$M=R/J$ とすると $IM=(I+J)/J$ なので、前提の技能（剰余環のイデアルの対応）から $M/IM\cong R/(I+J)$ となります。$R=\mathbb{Z},I=(m),J=(n)$ なら $(m)+(n)=(\gcd (m,n))$ なので $\mathbb{Z}/m\otimes \mathbb{Z}/n\cong \mathbb{Z}/\gcd (m,n)$ です。直感的には、$\bar{a}\otimes \bar{b}$ は $m$ 倍しても $n$ 倍しても $0$ になるので、位数は $\gcd (m,n)$ を割り切るほかないということです。

分配法則は、$(m_1,m_2)\otimes n\mapsto (m_1\otimes n,m_2\otimes n)$ と、逆向きの $m_1\otimes n\mapsto (m_1,0)\otimes n$、$m_2\otimes n\mapsto (0,m_2)\otimes n$ がどちらも双線形写像から作れて互いに逆になることから従います。左右どちらの直和にも同様に使えるので、$\left({⨁}_i{M}_i\right)\otimes \left({⨁}_j{N}_j\right)\cong {⨁}_{i,j}{M}_i\otimes N_j$ と、すべての組み合わせの和に展開できます。また $R{\otimes }_{R}M\cong M$（$I=0$ の場合）も成り立ちます。