可換環論・ホモロジー代数の問題

手順 1: 直和との分配法則. テンソル積は直和と分配するので
$$M\cong (\mathbb{Z}/12{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/30)\oplus (\mathbb{Z}/18{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/30).$$

手順 2: 巡回群どうしのテンソル積. $R=\mathbb{Z}$、$I=m\mathbb{Z}$、$J=n\mathbb{Z}$ として $R/I{\otimes }_{R}R/J\cong R/(I+J)$ を使う。$m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=\gcd (m,n)\mathbb{Z}$ なので
$$\mathbb{Z}/m{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\cong \mathbb{Z}/\gcd (m,n).$$

手順 3: 最大公約数の計算. $12=2^2\cdot 3$、$18=2\cdot 3^2$、$30=2\cdot 3\cdot 5$ より
$$\gcd (12,30)=6,\gcd (18,30)=6.$$
よって $\mathbb{Z}/12\otimes \mathbb{Z}/30\cong \mathbb{Z}/6$、$\mathbb{Z}/18\otimes \mathbb{Z}/30\cong \mathbb{Z}/6$。

手順 4: 位数. $M\cong \mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/6$ なので、位数は $6\times 6=36$。

テンソル積は直和に分配する: $M\cong (\mathbb{Z}/12\otimes \mathbb{Z}/30)\oplus (\mathbb{Z}/18\otimes \mathbb{Z}/30)$。一般に $\mathbb{Z}/a\otimes \mathbb{Z}/b\cong \mathbb{Z}/\gcd (a,b)$。$\gcd (12,30)=6$、$\gcd (18,30)=6$ なので $M\cong \mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/6$。位数は $6\cdot 6=36$。確認: $M\cong (\mathbb{Z}/12\oplus \mathbb{Z}/18)/30(\mathbb{Z}/12\oplus \mathbb{Z}/18)$。$30\cdot \mathbb{Z}/12=6\mathbb{Z}/12$ は位数 2、商は位数 6。$30\cdot \mathbb{Z}/18=12\mathbb{Z}/18=6\mathbb{Z}/18$ は位数 3、商は位数 6。よって 36。