可換環論・ホモロジー代数の問題

$\mathrm{Tor}$ と $\mathrm{Ext}$ は各変数について有限直和と可換なので、巡回加群どうしの場合に帰着する。

基本の計算. 自由分解 $0\to \mathbb{Z}\stackrel{\times a}{\to }\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}\to 0$ を用いると、任意の $\mathbb{Z}$ 加群 $B$ に対して
$${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z},B)\cong \{x\in B\mid ax=0\},{\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z},B)\cong B/aB.$$
また $\mathbb{Z}$ は自由（射影的かつ平坦）なので ${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},B)=0$、${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z},B)=0$。特に
$${\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/a,\mathbb{Z}/b)\cong \mathbb{Z}/\gcd (a,b),{\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/a,\mathbb{Z})=0,$$
$${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/a,\mathbb{Z}/b)\cong \mathbb{Z}/\gcd (a,b),{\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/a,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/a.$$

(1) ${\mathrm{Tor}}_1(M,N)$. $\mathbb{Z}$ の成分は寄与しないので
$${\mathrm{Tor}}_1(M,N)\cong {\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/12,\mathbb{Z}/18)\oplus {\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/12,\mathbb{Z}/8)\cong \mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/4,$$
位数は $24$。

(2) ${\mathrm{Ext}}^1(M,N)$. ${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z},N)=0$ より
$${\mathrm{Ext}}^1(M,N)\cong N/12N\cong \mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/12,$$
位数は $6\cdot 4\cdot 12=288$。

(3) ${\mathrm{Ext}}^1(N,M)$. ${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z},M)=0$ より
$${\mathrm{Ext}}^1(N,M)\cong M/18M\oplus M/8M\cong (\mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/18)\oplus (\mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/8),$$
位数は $6\cdot 18\cdot 4\cdot 8=3456$。

よって答えは $(24,288,3456)$。

$\mathbb{Z}$ 加群の公式 ${\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z}/n)\cong {\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z}/n)\cong \mathbb{Z}/\gcd (m,n)$、${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/m,A)\cong A/mA$、${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z},A)=0$、${\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z},A)=0$ を用いる。

(1) ${\mathrm{Tor}}_1(M,N)$: 非自明な項は ${\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/12,\mathbb{Z}/18)=\mathbb{Z}/6$ と ${\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/12,\mathbb{Z}/8)=\mathbb{Z}/4$。位数 $6\cdot 4=24$。

(2) ${\mathrm{Ext}}^1(M,N)={\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/12,N)=N/12N$。$\mathbb{Z}/18/12=\mathbb{Z}/6$、$\mathbb{Z}/8/12=\mathbb{Z}/4$、$\mathbb{Z}/12$（$\mathbb{Z}$ の部分）。位数 $6\cdot 4\cdot 12=288$。

(3) ${\mathrm{Ext}}^1(N,M)={\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/18,M)\oplus {\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/8,M)=M/18M\oplus M/8M$。$M/18M=\mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/18$（位数 108）、$M/8M=\mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/8$（位数 32）。位数 $108\cdot 32=3456$。

答え: $(24,288,3456)$。