可換環論・ホモロジー代数の問題

方針. ${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}$ は各変数について直和と交換するので、直和成分ごとに計算する。

1. 直和に分ける.
$${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/20\oplus \mathbb{Z},N)\cong {\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/20,N)\oplus {\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},N),N=\mathbb{Z}/30\oplus \mathbb{Z}/8.$$

2. ${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},N)=0$. $\mathbb{Z}$ は自由加群なので、$0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to 0$ 自身が自由分解であり、${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},N)=0$。

3. ${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/20,N)$. 自由分解 $0\to \mathbb{Z}\stackrel{20}{\to }\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/20\to 0$ に $\otimes N$ をほどこすと、複体 $0\to N\stackrel{20}{\to }N\to 0$ を得るので
$${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/20,N)\cong \mathrm{Ker}(N\stackrel{20}{\to }N)=N[20].$$
$N=\mathbb{Z}/30\oplus \mathbb{Z}/8$ なので $N[20]=(\mathbb{Z}/30)[20]\oplus (\mathbb{Z}/8)[20]$。一般に $(\mathbb{Z}/n)[m]$ は $20x\equiv 0$ となる元、すなわち位数が $\gcd (m,n)$ を割り切る元全体で、$\mathbb{Z}/\gcd (m,n)$ と同型である。
- $(\mathbb{Z}/30)[20]$: $\gcd (20,30)=10$ より位数 $10$
- $(\mathbb{Z}/8)[20]$: $\gcd (20,8)=4$ より位数 $4$

4. まとめ.
$$|{\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/20\oplus \mathbb{Z},\mathbb{Z}/30\oplus \mathbb{Z}/8)|=10\cdot 4\cdot 1=40.$$

Tor は直和に分配する。${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},-)=0$（$\mathbb{Z}$ は自由）なので、
$${\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/20\oplus \mathbb{Z},\mathbb{Z}/30\oplus \mathbb{Z}/8)\cong {\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/20,\mathbb{Z}/30)\oplus {\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/20,\mathbb{Z}/8)$$
（$\mathbb{Z}$ を含む項は 0）。一般に ${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z}/n)\cong \mathbb{Z}/\gcd (m,n)$（$\mathbb{Z}/m$ の分解 $0\to \mathbb{Z}\stackrel{m}{\to }\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/m\to 0$ から、$\mathbb{Z}/n$ の $m$ 倍写像の核）。

$\gcd (20,30)=10$, $\gcd (20,8)=4$ より、$\mathbb{Z}/10\oplus \mathbb{Z}/4$。位数は $10\cdot 4=40$。

検算: $\mathbb{Z}/30\oplus \mathbb{Z}/8$ の 20 倍写像の核の位数は、$\mathbb{Z}/30$ で $\gcd (20,30)=10$、$\mathbb{Z}/8$ で $\gcd (20,8)=4$。積 40 で一致。