可換環論・ホモロジー代数の問題

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の自由分解
$$0\to \mathbb{Z}\stackrel{n}{\to }\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to 0$$
に ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(-,A)$ を施すと $0\to A\stackrel{n}{\to }A\to 0$ となるので
$${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},A)\cong A/nA.$$
また ${\mathrm{Ext}}^1$ は第 2 変数の有限直和と可換である。

$n=24$ として
- $A=\mathbb{Z}/36$: $A/24A=\mathbb{Z}/36/24\mathbb{Z}/36$。$24\mathbb{Z}/36$ は $\gcd (24,36)=12$ で生成される部分群 $12\mathbb{Z}/36$（位数 $3$）なので、$A/24A\cong \mathbb{Z}/12$（位数 $12$）。
- $A=\mathbb{Z}$: $A/24A=\mathbb{Z}/24$（位数 $24$）。

よって
$${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}/24,\mathbb{Z}/36\oplus \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/12\oplus \mathbb{Z}/24$$
で、位数は $12\times 24=288$。

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(A,-)$ は有限直和と可換なので
$${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/24,\mathbb{Z}/36\oplus \mathbb{Z})\cong {\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/24,\mathbb{Z}/36)\oplus {\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/24,\mathbb{Z}).$$

射影分解 $0\to \mathbb{Z}\stackrel{24}{\to }\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/24\to 0$ に $\mathrm{Hom}(-,B)$ を施すと ${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/24,B)=B/24B$。

• $B=\mathbb{Z}/36$: $24\cdot \mathbb{Z}/36=\gcd (24,36)\mathbb{Z}/36=12\mathbb{Z}/36$ なので商は $\mathbb{Z}/12$（位数 12）。
• $B=\mathbb{Z}$: $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$（位数 24）。

位数は $12\cdot 24=288$。