$Z$ 上の Tor と Ext

自由分解 $0 \to Z m Z \to Z / m \to 0$ から、 $Tor_{1}^{Z} (Z / m, N) ≅ N [m]$ 、 $Ext_{Z}^{1} (Z / m, N) ≅ N / m N$ 、 $Ext_{Z}^{1} (Z, N) = 0$ を導ける。これらを直和に分けて使い、有限生成アーベル群どうしの $Tor_{1}$ , $Ext^{1}$ の位数を求められる

前提

加群のテンソル積（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

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算数中学高校大学大学院

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加群のテンソル積（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）

説明

アーベル群（ $Z$ 加群） $M, N$ に対して、テンソル積 $M \otimes N$ と準同型の群 $Hom (M, N)$ の「ずれ」を測る群 $Tor_{1}^{Z} (M, N)$ と $Ext_{Z}^{1} (M, N)$ を計算する技能です。 $Z / m$ の自由分解 $0 \to Z m Z \to Z / m \to 0$ から基本の公式 $Tor_{1} (Z / m, N) ≅ N [m]$ 、 $Ext^{1} (Z / m, N) ≅ N / m N$ 、 $Ext^{1} (Z, N) = 0$ を導き、直和に分けて有限生成アーベル群どうしの $Tor_{1}, Ext^{1}$ の位数を求めます。普遍係数定理でホモロジー・コホモロジーを計算するときなどに使います。

なぜそうしてよいのか

定義. $M$ の自由分解とは、自由アーベル群 $F_{0}, F_{1}$ と完全列 $0 \to F_{1} d F_{0} \to M \to 0$ のことです（ $Z$ 上の有限生成アーベル群は必ずこの長さ 2 の形の分解をもちます）。これを使って
$Tor_{1} (M, N) = ker (F_{1} \otimes N d \otimes 1 F_{0} \otimes N), Ext^{1} (M, N) = coker (Hom (F_{0}, N) d^{*} Hom (F_{1}, N))$
と定めます（ $d^{*} (φ) = φ \circ d$ ）。結果は分解の選び方によらず同型であることが知られています。ちなみに $d \otimes 1$ の余核は $M \otimes N$ 、 $d^{*}$ の核は $Hom (M, N)$ で、 $Tor_{1}, Ext^{1}$ はそれぞれ「その 1 つ先」に現れる群です。

$Z / m$ の場合（ $m \geq 1$ ）. 分解 $0 \to Z m Z \to Z / m \to 0$ を使います。 $Z \otimes N ≅ N$ なので $d \otimes 1$ は $N m N$ （ $m$ 倍写像）になり、その核は $N [m] = {a \in N ∣ ma = 0}$ です。一方 $Hom (Z, N) ≅ N$ （ $φ \mapsto φ (1)$ ）で、 $(φ \circ m) (1) = φ (m) = m φ (1)$ ですから $d^{*}$ も $N m N$ になり、その余核は $N / m N$ です。よって
$Tor_{1} (Z / m, N) ≅ N [m], Ext^{1} (Z / m, N) ≅ N / m N .$
$M = Z$ なら $0 \to 0 \to Z \to Z \to 0$ が分解なので $F_{1} = 0$ となり、 $Tor_{1} (Z, N) = 0$ 、 $Ext^{1} (Z, N) = 0$ です。

直和に分ける. 分解は直和ごとに並べて作れ、 $\otimes$ も $Hom$ も有限直和と交換するので、 $Tor_{1}, Ext^{1}$ は $M$ についても $N$ についても有限直和を直和に移します。具体的な群では $Z / n [m] ≅ Z / g cd (m, n)$ （ $Z / n$ の中で $m$ 倍して $0$ になる元は $\frac{n}{g c d ( m , n )}$ の倍数で $g cd (m, n)$ 個）、 $(Z / n) / m (Z / n) ≅ Z / g cd (m, n)$ 、 $Z [m] = 0$ 、 $Z / m Z ≅ Z / m$ が基本の材料になります。

手順

$M, N$ を巡回群の直和に分ける: $M ≅ Z^{r} \oplus ⨁_{i} Z / m_{i}$ 、 $N ≅ Z^{s} \oplus ⨁_{j} Z / n_{j}$
直和との交換で、 $Tor_{1} (M, N)$ や $Ext^{1} (M, N)$ を巡回群どうしの組 $(Z / m_{i} または Z, Z / n_{j} または Z)$ ごとの直和に分ける
第 1 成分が $Z$ の組は $Tor_{1} (Z, N) = 0$ 、 $Ext^{1} (Z, N) = 0$ として捨てる
第 1 成分が $Z / m$ の組は $Tor_{1} (Z / m, N) ≅ N [m]$ 、 $Ext^{1} (Z / m, N) ≅ N / m N$ を使って計算する: $Tor_{1} (Z / m, Z / n) ≅ Ext^{1} (Z / m, Z / n) ≅ Z / g cd (m, n)$ 、 $Tor_{1} (Z / m, Z) = 0$ 、 $Ext^{1} (Z / m, Z) ≅ Z / m$
各組で得た群の位数を掛け合わせて、全体の位数を出す

例題

$M = Z \oplus Z /12 \oplus Z /8$ 、 $N = Z \oplus Z /18$ とする。 $Ext_{Z}^{1} (M, N)$ の位数を求めよ。

例題の解答

手順 1. $M, N$ はすでに巡回群の直和の形になっている。

手順 2. 直和との交換により
$Ext^{1} (M, N) ≅ A \in {Z, Z /12, Z /8} ⨁ B \in {Z, Z /18} ⨁ Ext^{1} (A, B) .$

手順 3. $A = Z$ の 2 つの組は $Ext^{1} (Z, B) = 0$ で消える。

手順 4. 残りの 4 つの組を $Ext^{1} (Z / m, B) ≅ B / m B$ で計算する。
- $Ext^{1} (Z /12, Z) ≅ Z /12 Z$ ：位数 $12$
- $Ext^{1} (Z /12, Z /18) ≅ Z / g cd (12, 18) = Z /6$ ：位数 $6$
- $Ext^{1} (Z /8, Z) ≅ Z /8$ ：位数 $8$
- $Ext^{1} (Z /8, Z /18) ≅ Z / g cd (8, 18) = Z /2$ ：位数 $2$

手順 5. $Ext^{1} (M, N) ≅ Z /12 \oplus Z /6 \oplus Z /8 \oplus Z /2$ なので、位数は $12 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 2 = 1152$ 。

答え: $1152$

よくある誤り

$Hom (Z / m, Z) = 0$ や $Tor_{1} (Z / m, Z) = 0$ につられて $Ext^{1} (Z / m, Z) = 0$ としてしまう誤り。正しくは $Ext^{1} (Z / m, Z) ≅ Z / m Z = Z / m$ で、位数 $m$ をもつ
$Ext^{1}$ を対称だと思い $Ext^{1} (Z, Z / m) ≅ Ext^{1} (Z / m, Z) ≅ Z / m$ としてしまう誤り。第 1 成分が自由な $Z$ なら分解に $F_{1} = 0$ がとれるので、正しくは $Ext^{1} (Z, Z / m) = 0$ （ $Ext^{1}$ は 2 つの成分を入れ替えると一般に変わる）
$Tor_{1} (Z / m, N)$ を $N / m N$ 、 $Ext^{1} (Z / m, N)$ を $N [m]$ と取り違える誤り。 $N = Z$ で比べると違いがはっきりし、正しくは $Tor_{1} (Z / m, Z) ≅ Z [m] = 0$ 、 $Ext^{1} (Z / m, Z) ≅ Z / m Z$ （ $Tor_{1}$ は $m$ 倍写像の核、 $Ext^{1}$ は余核）
$Tor_{1} (Z / m, Z / n)$ を $Z / lcm (m, n)$ や $Z / mn$ としてしまう誤り。 $Z / n$ で $m$ 倍して $0$ になる元は $g cd (m, n)$ 個なので、正しくは $Tor_{1} (Z / m, Z / n) ≅ Z / g cd (m, n)$ （例: $Tor_{1} (Z /4, Z /6) ≅ Z /2$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$Z$ 加群（アーベル群）として、 $Tor_{1}^{Z} (Z /20 Z \oplus Z, Z /30 Z \oplus Z /8 Z)$ は有限群である。その位数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

自由分解による Tor・Ext の計算（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）
普遍係数定理とキュネットの公式（大学院数学代数的位相幾何）

Z 上の Tor と Ext

前提

説明