弧状連結な位相空間 の整数係数ホモロジー群が
であるとする。係数を に変えたホモロジー群 は有限群である。その位数を求めよ。
普遍係数定理とキュネットの公式
整数係数ホモロジーから、普遍係数定理 、 で係数を変えたホモロジー・コホモロジーを求められる。キュネットの公式 で積空間のホモロジーのねじれ部分の位数を求められる（例: 、、）
前提
- CW 複体の胞体ホモロジー （大学院数学 代数的位相幾何）
- 上の Tor と Ext （大学院数学 可換環論・ホモロジー代数）
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- 剰余環のイデアルと単元の個数 （大学数学 代数学）
- 加群のテンソル積 （大学院数学 可換環論・ホモロジー代数）
- 上の Tor と Ext （大学院数学 可換環論・ホモロジー代数）
説明
整数係数ホモロジー さえわかれば、普遍係数定理によって、係数を や などに替えたホモロジーや、整数係数コホモロジーを、鎖複体を作り直さずに求められます。また、キュネットの公式によって、 と のホモロジーから積空間 のホモロジー（特にねじれ部分）を求められます。どちらも「テンソル積の項」と「1 次ずれた Tor（または Ext）の項」の和、という同じ形をしているのが特徴です。
なぜそうしてよいのか
胞体鎖複体 は各次数が自由アーベル群です。係数 のホモロジーは のホモロジーで、境界写像の行列の成分（整数）をそのまま への掛け算として読みかえたものです。例えば では （各 ）なので、 に替えると は「 倍」 になり、 が生じます。整数係数では 、 でしたから、この新しい は「 次のねじれ と係数 がぶつかって、 つ上の次数に現れたもの」です。これが の項の正体で、 と一致します。
一般には、、 とおくと、 は自由群の部分群なので自由で、 は の自由分解になります。 のホモロジーを計算すると、 次のサイクルのうち、整数係数のサイクルから来る部分が 、「整数では境界が でないが の中では になる」部分が、この自由分解に をテンソルした写像の核、すなわち になり、 が完全で、しかも分裂します（分裂は自然ではありませんが、群の同型としては直和です）。コホモロジーでは の代わりに を取るので、同じ議論で が出ます。
積空間 の胞体は の 胞体と の 胞体の積（次元 ）なので、胞体鎖複体は になります。自由な鎖複体どうしのテンソル積のホモロジーも同じ理屈で、 と、 次ずれた の直和になります。これがキュネットの公式です。
手順
整数係数ホモロジー を、各 について有限生成アーベル群の形（）で書き出す。 では
求める次数 に対して、使う群を確認する。係数 のホモロジーなら と 、整数係数コホモロジー なら と 、積空間 なら と の組
テンソル積・Hom の項を直和成分ごとに計算する: 、、、
1 次ずれた Tor・Ext の項を直和成分ごとに計算する: （）、、、
得られた項をすべて直和して、問われている量（位数・階数・ねじれ部分の位数など）を読み取る
例題
次元実射影空間 の 係数ホモロジー群 の位数を求めよ。
例題の解答
手順 1: の標準的な胞体分割（各次元に胞体 個、）から
手順 2: なので、使うのは と で、
手順 3: 。
手順 4: （ とも一致）。
手順 5: よって で、位数は 。
答え:
よくある誤り
Tor の項を同じ次数のホモロジーから取ってしまう誤り。 を とするのは誤り。正しくは を使い、
整数係数コホモロジーを だけで済ませてしまう誤り。 は ではなく、正しくは が加わり 。逆に で、 ではない
キュネットの公式で Tor の項を落としてしまう誤り。 をテンソル積の項 だけで とするのは誤り。正しくは の が加わり、
有限巡回群どうしのテンソル積や Tor を積の位数にしてしまう誤り。 や を位数 とするのは誤り。正しくはどちらも
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
次元トーラスを とし、 の像を と書く。 から への つの閉曲線
を考える。 次元円板 を 枚用意し、その境界 をそれぞれ によって に貼り付けて得られる空間を とする。 の整数係数ホモロジー群について、 次ベッチ数 、 次ベッチ数 、および のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。実射影平面 の つの直積 を考える。整数係数ホモロジー群 , , はいずれも有限群である。これらの位数を、この順に組で求めよ。
次元球面 をリーマン球面 と同一視し、通常の向きを入れる。連続写像 を
で定める（, , と連続に拡張する）。積空間 に積の向きを入れ、連続写像 を
で定める。 のレフシェッツ数 を求めよ。をクラインの壺、 を実射影平面とし、積空間 を考える。正の整数 に対して、整数係数ホモロジー群 のねじれ部分群（有限位数の元全体のなす部分群）の位数を とする（ねじれ部分群が自明なら とする）。組 を求めよ。
CW 複体 を次のように構成する。
- 胞体は 個の点 のみ
- 胞体は の 個（いずれも両端が に貼られ、 は つの円周の一点和で、 は を基点とするループとして向きが定められている）
- 胞体は の 個で、それぞれ境界の円周を次の語に沿って に貼り付ける（ はループ を逆向きにたどることを表す）
- 次元以上の胞体はないの位数を 、 係数のホモロジー群 の 上の次元を 、 係数のホモロジー群 の 上の次元を とする。組 を求めよ。