代数的位相幾何

頂点 $v_1,v_2,v_3,v_4$ をもつ単体複体 $X$ を、次の単体（とそのすべての面）からなるものとする。
- 1 単体（辺）: $[v_1,v_2],[v_2,v_3],[v_3,v_4],[v_1,v_4],[v_1,v_3]$
- 2 単体: $[v_1,v_2,v_3]$ のみ

つまり $X$ は、正方形 $v_1{v}_2{v}_3{v}_4$ の周に対角線 $v_1{v}_3$ を加え、三角形 $v_1{v}_2{v}_3$ だけを中まで埋めたものである。有理数係数のベッチ数 $b_k={\dim }_{\mathbb{Q}}{H}_k(X;\mathbb{Q})$ について、組 $(b_0,b_1,b_2)$ をこの順に求めよ。

$0$ 胞体 $x$ を 1 個、$1$ 胞体 $a,b$ を 2 個（どちらも両端を $x$ に接着したループ）もつ $1$ 次元 CW 複体 $S^1\vee S^1$ に、$2$ 胞体 $e$ を 1 個、語
$$a^4{b}^{-1}{a}^2{b}^7$$
に沿って接着して得られる CW 複体を $X$ とする。整数係数ホモロジーについて、$H_1(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_1$、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数を $t$ とするとき、組 $(b_1,b_2,t)$ をこの順に求めよ。

有限 CW 複体 $X$ は、$0$ 胞体を $4$ 個、$1$ 胞体を $7$ 個、$2$ 胞体を $5$ 個、$3$ 胞体を $1$ 個もち、それ以外の次元の胞体をもたない。$X$ のオイラー標数 $\chi (X)$ を求めよ。

弧状連結な位相空間 $X$ の整数係数ホモロジー群が
$$H_0(X)\cong \mathbb{Z},H_1(X)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/4,H_2(X)\cong \mathbb{Z}/6,H_n(X)=0(n\ge 3)$$
であるとする。係数を $\mathbb{Z}/2$ に変えたホモロジー群 $H_2(X;\mathbb{Z}/2)$ は有限群である。その位数を求めよ。

$0$ 胞体 $1$ 個に、$1$ 胞体 $x,y$ を接着して $2$ つの円周の一点和を作り、さらに $2$ 個の $2$ 胞体を、それぞれ語 $x^3{y}^2$ と語 $x{y}^4$ に沿って接着して得られる $2$ 次元 CW 複体を $X$ とする。基本群 ${\pi }_1(X)$ のアーベル化 ${\pi }_1(X{)}^{\mathrm{ab}}$ は有限群である。その位数を求めよ。

$S^1=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$ とし、連続写像 $f:S^1\to S^1$ を $f(z)={\overline{z}}^4$（$\overline{z}$ は $z$ の複素共役）で定める。$f$ の写像度 $\mathrm{deg}f$ を求めよ。ただし写像度は、$f_{\ast }:H_1(S^1)\cong \mathbb{Z}\to H_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ が掛ける整数とする。

正六角形の辺に、ある頂点から反時計回りに順に語
$$abc{a}^{-1}{b}^{-1}{c}^{-1}$$
でラベルと向きを付ける（指数 $+1$ の辺は反時計回りの向き、指数 $-1$ の辺は時計回りの向きをもつ）。同じ文字の辺どうしを、向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $M$ とする。$M$ は向き付け可能である。$M$ の種数 $g$ を求めよ。

連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^4\to \mathbb{C}{P}^4$ が、整数係数コホモロジー $H^2(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ に $f^{\ast }(h)=-2h$（$h$ は生成元）として作用しているとする。$f$ のレフシェッツ数
$$L(f)=\sum _k(-1{)}^k\mathrm{tr}\left(f_{\ast }\mid H_k(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Q})\right)$$
を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_2$ の連結な $2$ 重被覆空間 $p:Y\to {\Sigma }_2$ の、被覆空間としての同型類の個数を求めよ。ただし、2 つの被覆 $p:Y\to {\Sigma }_2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to {\Sigma }_2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ をみたすものが存在することとする。

$X=S^1\vee \mathbb{R}{P}^2$（円周と実射影平面の 1 点和）とする。その基本群は
$$G={\pi }_1(X)=⟨a,b\mid b^2⟩$$
と表示される（$a$ は $S^1$ を 1 周するループ、$b$ は $\mathbb{R}{P}^2$ の基本群の生成元）。$G$ の指数 $3$ の部分群の個数を求めよ。ただし、互いに共役な部分群も異なる部分群であれば別々に数える（部分群そのものの個数を数え、共役類の個数ではない）。準同型の個数ではなく、部分群の個数を答えること。

${\Sigma }_3$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面とし、その基本群を
$${\pi }_1({\Sigma }_3)=⟨a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3\mid [a_1,b_1][a_2,b_2][a_3,b_3]⟩$$
とする（$[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$）。$3$ 次対称群 $S_3$ への準同型全体の集合 $\mathrm{Hom}({\pi }_1({\Sigma }_3),S_3)$ の元の個数を求めよ。

四元数全体 $\mathbb{H}$ の中の単位四元数全体 $S^3=\{q\in \mathbb{H}:|q|=1\}$ を考える。
$$x=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3},y=j$$
で生成される $S^3$ の部分群を $G$ とし、$G$ を左からの積で $S^3$ に作用させた商空間 $X=G\backslash S^3$ を考える。$X$ の基本群 ${\pi }_1(X)$ の位数と、そのアーベル化 ${\pi }_1(X{)}^{\mathrm{ab}}={\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)]$ の位数を、この順に組で答えよ。

$8$ 角形の辺に、境界を一周する向きに沿って順に
$$abac{b}^{-1}dcd$$
とラベルを付け、同じ文字の辺どうしを矢印の向き（指数 $-1$ は逆向き）が一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $X$ とする。$X$ は $k$ 個の実射影平面の連結和 $\underset{k}{\underbrace{\mathbb{R}{P}^2\#\cdots \#\mathbb{R}{P}^2}}$ と同相である。$k$ を求めよ。

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $4$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $4$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。連結な $4$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

トーラス $T^2$ に、$1$ 頂点 $v$・$2$ 個の $1$ 胞体 $a,b$・$1$ 個の $2$ 胞体 $e$（接着写像は $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$）からなる標準的な CW 構造を入れる。$1$ 骨格 $a\cup b$ の中で、$v$ から $a$ を $3$ 回たどり、続けて $b$ を $6$ 回たどる閉道 $\gamma :S^1\to T^2$（${\pi }_1(T^2,v)$ で $a^3{b}^6$ を表す）を接着写像として、$T^2$ に $2$ 胞体 $D$ を $1$ つ接着した CW 複体を $X$ とする。

$X$ の整数係数ホモロジーについて、$1$ 次ベッチ数 $b_1$、$2$ 次ベッチ数 $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数 $t$ を、この順に組 $(b_1,b_2,t)$ で答えよ。

リーマン球面 $S^2=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$（標準的な向きを入れる）上の写像 $f:S^2\to S^2$ を
$$f(z)=\{\begin{array}{ll}{z}^2{\overline{z}}^5& (z\in \mathbb{C})\\ \infty & (z=\infty )\end{array}$$
で定める（$\overline{z}$ は $z$ の複素共役）。$f$ は連続である。$f$ のレフシェッツ数 $L(f)$ を求めよ。

正十角形の $10$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$abc{b}^{-1}d{a}^{-1}e{c}^{-1}{d}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで文字 $x$ はその辺に反時計回りの向きをつけること、$x^{-1}$ は時計回りの向きをつけることを表す。同じ文字の $2$ 辺を向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $S$ とする。$S$ はある $0$ 以上の整数 $g$ に対して種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面 ${\Sigma }_g$ に同相である。$g$ を求めよ。

トーラス $T^2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a,b$、$2$ 胞体 $e$（語 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ に沿って貼られたもの）からなる標準的な CW 構造を与える。$1$ 胞体 $a,b$ は $v$ を基点とする閉道とみなす。$T^2$ にさらに $2$ つの $2$ 胞体 $D_1,D_2$ を、境界をそれぞれ $1$ 骨格の閉道
$$a^2{b}^4,a^3{b}^{-1}$$
に沿って貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする。

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ は有限群である。$H_1(X;\mathbb{Z})$ の位数と、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を、この順に組で求めよ。

$2$ 次元球面から、閉包が互いに交わらない $3$ つの開円板を取り除いて得られる曲面を $P$ とし、その境界の $3$ つの円周を $C_1,C_2,C_3$ とする。$C_1$ と $C_2$ のそれぞれに、メビウスの帯の境界の円周を同相写像で貼り合わせる。さらに $C_3$ には、トーラスから $1$ つの開円板を取り除いて得られる曲面の境界の円周を同相写像で貼り合わせる。こうして得られる閉曲面を $S$ とする。

$S$ はある正の整数 $k$ に対して、$k$ 個の実射影平面の連結和 $\underset{k}{\underbrace{{\mathbb{RP}}^2\#\cdots \#{\mathbb{RP}}^2}}$ に同相である。$k$ を求めよ。

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $12$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $12$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

連結な $12$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$4$ 次元立方体 $I^4=[0,1{]}^4\subset {\mathbb{R}}^4$ に、各面（座標のいくつかを $0$ または $1$ に固定して得られる部分集合）を胞体とする標準的な CW 構造を入れる。このとき $k$ 胞体は $I^4$ の $k$ 次元の面である（$0\le k\le 4$）。

$I^4$ の $2$ 次元骨格（次元が $2$ 以下の面すべての和集合）を $X$ とする。整数係数ホモロジー群 $H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数（第 $2$ ベッチ数）を求めよ。

$T^2$ をトーラス、${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面とし、連結和
$$M=T^2\#T^2\#{\mathbb{RP}}^2\#{\mathbb{RP}}^2$$
を考える。$\pi :\tilde{M}\to M$ を $M$ の向き付け二重被覆（$M$ の各点 $x$ と $x$ における局所的な向き $2$ つの組全体からなる $2$ 重被覆）とする。$\tilde{M}$ は連結な向き付け可能閉曲面であるから、ある $0$ 以上の整数 $g$ について種数 $g$ の向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_g$ と同相である。この $g$ を求めよ。

CW 複体 $X$ を次のように構成する。

- $0$ 胞体は $1$ 個の点 $v$ のみ
- $1$ 胞体は $a,b,c$ の $3$ 個（いずれも両端が $v$ に貼られ、向きが定められたループ）
- $2$ 胞体は $e_1,e_2$ の $2$ 個で、境界の円周をそれぞれ $1$ 骨格の語
$$e_1:aba{b}^{-1}{c}^2,e_2:a^{-1}c{b}^{3}c$$
に沿って貼り付ける（指数 $-1$ は逆向きにたどることを表す）

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ を有限生成アーベル群として $H_1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus T$（$T$ は有限アーベル群）と表すとき、階数 $r$ と $T$ の位数 $|T|$ の組 $(r,|T|)$ をこの順に求めよ。

種数 $2$ の向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a_1,b_1,a_2,b_2$（いずれも $v$ を基点とするループ）、語 $a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}{a}_2{b}_2{a}_2^{-1}{b}_2^{-1}$ に沿って貼られた $2$ 胞体 $1$ 個からなる標準的な CW 構造を入れる。${\Sigma }_2$ に、さらに $4$ 個の $2$ 胞体 $D_1,D_2,D_3,D_4$ を、それぞれの境界の円周を $1$ 骨格の語
$$D_1:a_1{b}_2^2,D_2:b_1{a}_2,D_3:a_2^3{b}_1^{-1},D_4:b_2{a}_1^{-1}{b}_2$$
に沿って貼り付けて得られる空間を $X$ とする（指数 $-1$ は逆向きにたどることを表す）。基本群 ${\pi }_1(X,v)$ のアーベル化 ${\pi }_1(X,v)/[{\pi }_1(X,v),{\pi }_1(X,v)]$ は有限群である。その位数を求めよ。

$g\ge 1$ を整数とし、${\Sigma }_g$ を種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_g$ の 2 重被覆 $p:E\to {\Sigma }_g$ で全空間 $E$ が連結であるものを考える。2 つの被覆 $p_1:E_1\to {\Sigma }_g$、$p_2:E_2\to {\Sigma }_g$ は、同相写像 $h:E_1\to E_2$ で $p_2\circ h=p_1$ を満たすものが存在するとき同型であるという（基点は考えない）。

このとき、${\Sigma }_g$ の連結な 2 重被覆は、同型を除いてちょうど $2^{2g}-1$ 個あることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 被覆空間の分類定理: $X$ が弧状連結・局所弧状連結・半局所単連結な空間で $x_0\in X$ のとき、$X$ の連結な被覆の同型類（基点なし）全体と、${\pi }_1(X,x_0)$ の部分群の共役類全体の間には全単射があり、連結な被覆 $p:E\to X$ には部分群 $p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0)$（$e_0\in p^{-1}(x_0)$）の共役類が対応する。さらに、このとき被覆の重複度（シート数）は指数 $[{\pi }_1(X,x_0):p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0)]$ に等しい。

(ii) ${\pi }_1({\Sigma }_g,x_0)$ は表示 $⟨a_1,b_1,\dots ,a_g,b_g\mid [a_1,b_1][a_2,b_2]\cdots [a_g,b_g]⟩$ をもつ。ここで $[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ である。

0 胞体 $x_0$ を 1 つ、1 胞体 $a,b$ を 2 つもち（それぞれ $x_0$ を基点とするループとして向きを定める）、2 胞体 $e_1,e_2$ を、境界がそれぞれループ $a^3$、$b^2$ に沿うように貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする。基本群 $G={\pi }_1(X,x_0)$ は無限群であるが、そのアーベル化 $G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$ は位数 $6$ の有限群であることを証明せよ。ここで $[G,G]$ は $G$ の交換子部分群である。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい: 連結な CW 複体の 1 骨格が 1 点で束ねた円周の族で、その円周に対応するループを $g_1,\dots ,g_r$ とするとき、2 胞体を接着写像のループ $w_1,\dots ,w_s$ に沿って貼り付けた空間の基本群は、群の表示 $⟨g_1,\dots ,g_r\mid w_1,\dots ,w_s⟩$ で与えられる（ファン・カンペンの定理の帰結）。

0 胞体 $x_0$ を 1 つ、1 胞体 $a,b$ を 2 つもち（それぞれ $x_0$ を基点とするループとして向きを定める）、2 胞体 $e_1,e_2$ を、境界がそれぞれループ
$$w_1=a^{3}b{a}^{-1}b,w_2=a{b}^{-2}{a}^2$$
に沿うように貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする（3 胞体以上はない）。$X$ の整係数ホモロジーについて、$H_k(X;\mathbb{Z})=0$（$k\ge 2$）であり、$H_1(X;\mathbb{Z})$ は位数 $10$ の巡回群であること（特にベッチ数は $b_1(X)=b_2(X)=0$ であること）を証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい: $X$ のホモロジーは胞体鎖複体 $C_{\ast }(X)$ のホモロジーと同型であり、1 骨格が 1 点で束ねた円周 $a,b$ である CW 複体で 2 胞体 $e$ がループ $w$ に沿って貼られているとき、胞体境界写像は $d_2(e)={\epsilon }_a(w)a+{\epsilon }_b(w)b$ で与えられる。ここで ${\epsilon }_a(w)$、${\epsilon }_b(w)$ は語 $w$ における $a$、$b$ の指数の総和である。

$3$ 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、$x\in {\mathbb{R}}^3$ の像を $[x]$ と書く。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ から $T^3$ への $2$ つの閉曲線
$${\gamma }_1(t)=[(2t,4t,6t)],{\gamma }_2(t)=[(4t,2t,0)](t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z})$$
を考える。$2$ 次元円板 $D^2$ を $2$ 枚用意し、その境界 $\partial D^2\cong S^1$ をそれぞれ ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ によって $T^3$ に貼り付けて得られる空間を $X$ とする。$X$ の整数係数ホモロジー群について、$1$ 次ベッチ数 $b_1(X)$、$2$ 次ベッチ数 $b_2(X)$、および $H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。

$3$ 枚の六角形 $P,Q,R$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P:abc{b}^{-1}de,Q:a^{-1}fg{f}^{-1}{d}^{-1}i,R:ch{g}^{-1}e{h}^{-1}{i}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺の向きが反時計回りの向きと一致することを、$x^{-1}$ は逆向きであることを表す。$9$ 種類の文字 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ はそれぞれちょうど $2$ 回ずつ現れる。同じ文字のついた $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $M$ とする（$M$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群を $H_1(M;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus T$（$r$ は $0$ 以上の整数、$T$ は有限アーベル群）と表すとき、$r$ と $T$ の位数 $|T|$ の組 $(r,|T|)$ を求めよ。

$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周とし、$2$ つの $\mathbb{R}{P}^2$ と $1$ つの $S^1$ をそれぞれ $1$ 点ずつで貼り合わせた一点和
$$X=\mathbb{R}{P}^2\vee \mathbb{R}{P}^2\vee S^1$$
を考える。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるとする（基点は考えない）。同型類の個数を求めよ。

$X=\mathbb{C}\setminus \{0,1\}$ とし、$X$ 上の $4$ 点の順序付き配置空間
$$F_4(X)=\{(z_1,z_2,z_3,z_4)\in X^4\mid i\ne j\text{ ならば }{z}_i\ne z_j\}$$
を考える（$X^4$ の部分空間としての位相を入れる）。$F_4(X)$ のオイラー標数
$$\chi (F_4(X))=\sum _{n\ge 0}(-1{)}^n{\dim }_{\mathbb{Q}}{H}_n(F_4(X);\mathbb{Q})$$
を求めよ。

$2$ つの六角形 $P_1,P_2$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P_1:abc{b}^{-1}de,P_2:afd{f}^{-1}{c}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺を反時計回りの向きに、$x^{-1}$ は時計回りの向きにたどることを表す。同じ文字の $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $X$ とする（$X$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群が $H_1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus (\mathbb{Z}/2{)}^s$（$r,s$ は $0$ 以上の整数）と表されるとき、組 $(r,s)$ を求めよ。

$N_3=\mathbb{R}{P}^2\#\mathbb{R}{P}^2\#\mathbb{R}{P}^2$ を $3$ 個の射影平面の連結和として得られる向き付け不可能な閉曲面とする。$N_3$ の連結な $2$ 重被覆空間 $p:Y\to N_3$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $2$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to N_3$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to N_3$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。

同型類で数えたとき、連結な $2$ 重被覆空間のうち、全空間 $Y$ が向き付け不可能であるものはいくつあるか。

$3$ 次元複素射影空間 $\mathbb{C}{P}^3$ 上の連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^3\to \mathbb{C}{P}^3$ を
$$f([z_0:z_1:z_2:z_3])=[{\overline{z_0}}^2:{\overline{z_1}}^2:{\overline{z_2}}^2:{\overline{z_3}}^2]$$
で定める（$\overline{z}$ は $z$ の複素共役）。$f$ のレフシェッツ数 $L(f)={\sum }_k(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(\mathbb{C}{P}^3;\mathbb{Q})\to H_k(\mathbb{C}{P}^3;\mathbb{Q}))$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^6$ の $2$ 次元部分線形空間全体のなす実グラスマン多様体 ${\mathrm{Gr}}_2({\mathbb{R}}^6)$（次元 $8$ のコンパクト多様体）のオイラー標数 $\chi ({\mathrm{Gr}}_2({\mathbb{R}}^6))$ を求めよ。

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0,1{]}^2$ において $(s,0)\sim (s,1)$, $(0,u)\sim (1,1-u)$ $(s,u\in [0,1])$ と同一視して得られる空間とする。$K$ の連結な $6$ 重被覆空間 $p:Y\to K$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $6$ 点）のうち、$Y$ がクラインの壺に同相であるものを考える。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to K$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to K$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

このような被覆空間の同型類の個数を求めよ。

${\mathbb{R}}^7$ の向き付けられた $3$ 次元線形部分空間全体のなす向き付きグラスマン多様体を ${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)$ とする（これは ${\mathbb{R}}^7$ の $3$ 次元線形部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G_3({\mathbb{R}}^7)$ 上の、向きを忘れる写像による $2$ 重被覆空間である）。${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)$ のオイラー標数 $\chi ({\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7))$ を求めよ。

実射影平面 ${\mathbb{RP}}^2$ の $2$ つの直積 $X={\mathbb{RP}}^2\times {\mathbb{RP}}^2$ を考える。整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$, $H_2(X;\mathbb{Z})$, $H_3(X;\mathbb{Z})$ はいずれも有限群である。これらの位数を、この順に組で求めよ。

$S^3=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\}$ とし、$\zeta =e^{2\pi i/6}$ とする。巡回群 $\mathbb{Z}/6$ の生成元を $(z,w)\mapsto (\zeta z,\zeta w)$ として $S^3$ に作用させ、その商空間をレンズ空間 $L=S^3/(\mathbb{Z}/6)$ とする。さらに $X=S^1\times L$ とおく。

正の整数 $n$ に対し、$X$ の連結な $n$ 重被覆空間（全空間が連結で、各点の逆像がちょうど $n$ 点である被覆写像 $p:Y\to X$）の、被覆空間としての同型類の個数を $c_n$ とする。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ が同型であるとは、同相写像 $\varphi :Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ \varphi =p$ を満たすものが存在することとする（基点は考えない）。

$$\sum _{n=1}^{12}{c}_n$$
を求めよ。

$2$ 次元球面 $S^2$ をリーマン球面 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ と同一視し、通常の向きを入れる。連続写像 $\phi ,\psi :S^2\to S^2$ を
$$\phi (z)=z^3,\psi (z)=-\frac{1}{{\overline{z}}^2}$$
で定める（$\phi (\infty )=\infty$, $\psi (0)=\infty$, $\psi (\infty )=0$ と連続に拡張する）。積空間 $X=S^2\times S^2$ に積の向きを入れ、連続写像 $f:X\to X$ を
$$f(x,y)=(\phi (y),\psi (x))$$
で定める。$f$ のレフシェッツ数 $L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(X;\mathbb{Q})\to H_k(X;\mathbb{Q}))$ を求めよ。

$3$ つの円周を $1$ 点で貼り合わせた空間（$3$ つの円周のブーケ）を $X=S^1\vee S^1\vee S^1$ とする。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、$X$ の各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという（基点は考えない）。連結な $3$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$\mathbb{C}{P}^n$ を $n$ 次元複素射影空間とする。連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^n\to \mathbb{C}{P}^n$ が不動点をもたないならば、$n$ は奇数であり、かつ $H^2(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})$ の生成元 $a$ に対して $f^{\ast }(a)=-a$ が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 整係数コホモロジー環は $H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}[a]/(a^{n+1})$（$a\in H^2$）であり、$0\le k\le n$ に対して $H^{2k}(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})$ は $a^k$ で生成される無限巡回群、それ以外の次数のコホモロジーは $0$ である。連続写像が誘導する $f^{\ast }$ はカップ積を保つ次数付き環準同型で、単位元 $1\in H^0$ を $1$ に送る。

(ii) レフシェッツの不動点定理: $X$ がコンパクトな三角形分割可能空間で、すべての $k$ について $H^k(X;\mathbb{Z})$ が有限階数の自由加群であるとき、連続写像 $f:X\to X$ のレフシェッツ数を
$$L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f^{\ast }:H^k(X;\mathbb{Z})\to H^k(X;\mathbb{Z}))$$
で定めると、$L(f)\ne 0$ ならば $f$ は不動点をもつ。$\mathbb{C}{P}^n$ はコンパクトな三角形分割可能空間である。

${\mathbb{R}}^9$ の部分空間の組 $(V,W)$ で
$$V\subset W\subset {\mathbb{R}}^9,\dim V=2,\dim W=5$$
をみたすもの全体を $F$ とする。$F$ には実部分旗多様体としての自然な位相（$G{L}_9(\mathbb{R})$ の等質空間としての位相）を入れる。$F$ はコンパクトな $26$ 次元の滑らかな多様体である。

$F$ のオイラー標数 $\chi (F)$ を求めよ。

トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
が誘導する連続写像 $f:T^2\to T^2,f([x])=[Ax]$（$x\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）を考える。正の整数 $n$ に対し、$f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とし、
$$P_n=\#\{p\in T^2:f^n(p)=p,\text{かつ }1\le k<n\text{ をみたすすべての整数 }k\text{ に対して }{f}^k(p)\ne p\}$$
とおく（ちょうど周期 $n$ の周期点の個数）。各 $f^n$ のレフシェッツ数 $L(f^n)$ と不動点の個数の関係を用いて、$P_{12}$ を求めよ。

トーラス $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の同相写像 $f:T^2\to T^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$$
を用いて $f([v])=[Av]$ と定める。$f$ の写像トーラス
$$M=T^2\times [0,1]/((x,0)\sim (f(x),1))$$
を考え、射影 $T^2\times [0,1]\to [0,1]$ から誘導される写像 $q:M\to S^1=[0,1]/(0\sim 1)$ が基本群に誘導する全射準同型を $\phi :{\pi }_1(M)\to {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ とする。

$p:Y\to M$ を、部分群 ${\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})\subset {\pi }_1(M)$ に対応する連結な被覆空間とする（$p_{\ast }{\pi }_1(Y)={\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})$）。${\pi }_1(Y)$ のアーベル化 ${\pi }_1(Y{)}^{\mathrm{ab}}$ のねじれ部分群（有限位数の元全体のなす部分群）の位数を求めよ。

トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とする。整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
を用いて、連続写像 $f,g:T^2\to T^2$ を $f([v])=[Av]$, $g([v])=[Bv]$ $(v\in {\mathbb{R}}^2)$ で定める。

円柱 $T^2\times [0,1]$ と、もう $1$ つのトーラス $T^2$（これを $Y$ と書く）の直和空間 $(T^2\times [0,1])\bigsqcup Y$ を考える。円柱の両端をどちらも同じ $1$ つのトーラス $Y$ に、次の同一視で貼り付ける。
$$(p,0)\sim f(p)\in Y,(p,1)\sim g(p)\in Y(p\in T^2)$$
こうして得られる商空間を $X$ とする。

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分（有限位数の元全体のなす部分群）の位数と、$H_2(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。

$X=S^2\times S^2$ とし、$X$ には積の向きを与える。連続写像 $f:X\to X$ の写像度が $12$ であるとする。すなわち、$H_4(X;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ の基本類 $[X]$ に対して $f_{\ast }[X]=12[X]$ が成り立つとする。このような連続写像 $f$ 全体を考えるとき、$f$ のレフシェッツ数
$$L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(X;\mathbb{Q})\to H_k(X;\mathbb{Q}))$$
がとりうる値をすべて求めよ。

トーラス $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:T^2\to T^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$
を用いて $f([v])=[Av]$ $(v\in {\mathbb{R}}^2)$ で定める。ここで $[v]$ は $v$ の $T^2$ における像である。$f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とするとき、
$$f^6(p)=p\text{かつ}{f}^k(p)\ne p(k=1,2,3,4,5)$$
を満たす点 $p\in T^2$ の個数を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。CW 複体 $X_n$ を次のように構成する。

• $0$ 胞体は $1$ 個の点 $v$ のみ
• $1$ 胞体は $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の $n$ 個（各 $x_i$ は $v$ を基点とするループとして接着する）
• $2$ 胞体は $D_1,D_2,\dots ,D_n$ の $n$ 個で、$D_i$ の境界を $1$ 骨格 ${\bigvee }_{j=1}^n{S}^1$ の語 $x_i{x}_i{x}_{i+1}$ が表すループに沿って接着する。ただし添字は $n$ を法として考え、$x_{n+1}=x_1$ とする

整数係数ホモロジー群 $H_1(X_n;\mathbb{Z})$ は有限群になる。その位数を $n$ の式で求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to {\Sigma }_2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to {\Sigma }_2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to {\Sigma }_2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ をみたすものが存在することとする（基点は考えない）。

同型を除いて、連結な $3$ 重被覆空間は何個あるか。

$K$ をクラインの壺、$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面とし、積空間 $X=K\times \mathbb{R}{P}^2$ を考える。正の整数 $n$ に対して、整数係数ホモロジー群 $H_n(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群（有限位数の元全体のなす部分群）の位数を $t_n$ とする（ねじれ部分群が自明なら $t_n=1$ とする）。組 $(t_1,t_2,t_3)$ を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_2$ の相異なる $3$ 点からなる部分集合全体の空間
$$C_3({\Sigma }_2)=\{\{p_1,p_2,p_3\}\subset {\Sigma }_2:p_1,p_2,p_3\text{are pairwise distinct}\}$$
（順序付き配置空間 $F_3({\Sigma }_2)=\{(p_1,p_2,p_3)\in {\Sigma }_2^3:p_i\ne p_j(i\ne j)\}$ を、対称群 $S_3$ の座標の入れ替えによる作用で割った商空間）のオイラー標数 $\chi (C_3({\Sigma }_2))$ を求めよ。

$4$ 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$ 上の連続写像 $h:{\mathbb{CP}}^4\to {\mathbb{CP}}^4$ を
$$h([z_0:z_1:z_2:z_3:z_4])=[{\overline{z_0}}^3:{\overline{z_1}}^3:{\overline{z_2}}^3:{\overline{z_3}}^3:{\overline{z_4}}^3]$$
で定める（$\overline{z}$ は複素共役）。$h$ の（有理係数ホモロジーに関する）レフシェッツ数
$$L(h)=\sum _{i\ge 0}(-1{)}^i\mathrm{tr}(h_{\ast }:H_i({\mathbb{CP}}^4;\mathbb{Q})\to H_i({\mathbb{CP}}^4;\mathbb{Q}))$$
を求めよ。

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0,1{]}^2$ において
$$(s,0)\sim (s,1),(0,u)\sim (1,1-u)(s,u\in [0,1])$$
と同一視して得られる空間とする。正方形の $4$ 頂点はすべて $1$ 点 $q\in K$ に移る。$q$ を基点とする閉道 $a,b$ を
$$a(u)=[(0,u)],b(s)=[(s,0)](0\le s,u\le 1)$$
で定める。$K$ に $2$ 胞体 $D^2$ を、その境界を閉道 $b^2{a}^{-5}$（$b$ を $2$ 回たどったあと $a$ を逆向きに $5$ 回たどる閉道）に沿って貼り付けて得られる空間を $X$ とする。

基本群 ${\pi }_1(X,q)$ の位数と、そのアーベル化 ${\pi }_1(X,q{)}^{\mathrm{ab}}$ の位数を、この順に組で求めよ。

正の整数 $g$ に対して ${\Sigma }_g$ を種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面とし、正の整数 $h$ に対して $N_h$ を $h$ 個の実射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ の連結和として得られる向き付け不可能な閉曲面とする（$N_1=\mathbb{R}{P}^2$）。

閉曲面 $X$ と曲面 $Y$ について、「$Y$ が $X$ を被覆する」とは、$Y$ を全空間とする被覆写像 $p:Y\to X$ が存在することとする（$Y$ は連結とする）。

${\Sigma }_{13}$ と $N_{20}$ のどちらもが $N_h$ を被覆するような正の整数 $h$ をすべて求めよ。

CW 複体 $X$ を次のように構成する。

- $0$ 胞体は $1$ 個の点 $v$ のみ
- $1$ 胞体は $a,b,c$ の $3$ 個（いずれも両端が $v$ に貼られ、$X^{(1)}$ は $3$ つの円周の一点和で、$a,b,c$ は $v$ を基点とするループとして向きが定められている）
- $2$ 胞体は $e_1,e_2,e_3$ の $3$ 個で、それぞれ境界の円周を次の語に沿って $X^{(1)}$ に貼り付ける（$x^{-1}$ はループ $x$ を逆向きにたどることを表す）
$$e_1:a^{2}ba{b}^{-1}{c}^2,e_2:b^{2}c{a}^{-1}{b}^{4}c,e_3:cabacb$$
- $3$ 次元以上の胞体はない

$H_1(X;\mathbb{Z})$ の位数を $N$、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 係数のホモロジー群 $H_2(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上の次元を $d_2$、$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 係数のホモロジー群 $H_2(X;\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ の $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 上の次元を $d_3$ とする。組 $(N,d_2,d_3)$ を求めよ。

$Y=S^1\vee S^1$ を $2$ つの円周の一点和とし、一点和の点を $v$、$2$ つの円周を $v$ を基点とするループ $a,b$ とみなす。連続写像 $f:Y\to Y$ を、$f(v)=v$ で、ループ $a$ をループ $b$ に、ループ $b$ をループの積 $ab$（$a$ をたどってから $b$ をたどる）に写すものとする。$f$ の写像トーラス
$$M_f=Y\times [0,1]/((y,1)\sim (f(y),0)(y\in Y))$$
を考え、射影 $Y\times [0,1]\to [0,1]$ から誘導される写像 $q:M_f\to S^1=[0,1]/(0\sim 1)$ が定める準同型 $q_{\ast }:{\pi }_1(M_f)\to {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ と、還元 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の合成の核を $K$ とする。$K$ に対応する $M_f$ の連結な被覆空間を $\tilde{X}$ とする。

${\pi }_1(\tilde{X})$ のアーベル化 ${\pi }_1(\tilde{X}{)}^{\mathrm{ab}}$ のねじれ部分群（有限位数の元全体）の位数を求めよ。

この問題では、曲面とは境界のない第二可算ハウスドルフな 2 次元位相多様体とし、閉曲面とはコンパクトかつ連結な曲面とする。ホモロジーはすべて整数係数の特異ホモロジーとする。曲面 $S$ の座標円板とは、$S$ のある開集合 $W$ と同相写像 $\phi :W\to {\mathbb{R}}^2$（${\mathbb{R}}^2$ 全体への同相写像）について ${\phi }^{-1}(\{v\in {\mathbb{R}}^2\mid |v-v_0|<r\})$（$v_0\in {\mathbb{R}}^2$, $r>0$）と表される集合のこととする。座標円板 $D$ について $H_2(S,S\setminus D)\cong \mathbb{Z}$ であり、各 $z\in D$ について包含写像が誘導する $H_2(S,S\setminus D)\to H_2(S,S\setminus \{z\})$ は同型である。曲面 $S$ の向き付けとは、各点 $y\in S$ に対して $H_2(S,S\setminus \{y\})\cong \mathbb{Z}$ の生成元 ${\mu }_y$ を 1 つずつ選んだもので、次の条件をみたすものと定める: 各 $y\in S$ に対し、$y$ を含む座標円板 $D$ と $H_2(S,S\setminus D)$ の生成元 ${\mu }_D$ で、すべての $z\in D$ について ${\mu }_D$ の $H_2(S,S\setminus \{z\})$ への像が ${\mu }_z$ に等しいものが存在する。向き付けが存在する曲面を向き付け可能という。$k\ge 0$ に対し、${\Sigma }_k$ で種数 $k$ の向き付け可能な閉曲面を表す。

$g\ge 0$ を整数、$n$ を正の奇数とし、閉曲面 $M$ への $n$ 重被覆写像 $p:{\Sigma }_g\to M$（各点のファイバーがちょうど $n$ 点からなる被覆写像）が存在するとする。このとき、$M$ は向き付け可能であり、かつ $n$ は $g-1$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 閉曲面の分類定理: 向き付け可能な閉曲面は、ある $k\ge 0$ に対する ${\Sigma }_k$ にただ 1 つ同相であり、$\chi ({\Sigma }_k)=2-2k$ である。

(ii) 閉曲面 $E$ から閉曲面 $B$ への $n$ 重被覆写像があれば $\chi (E)=n\chi (B)$ である。

(iii) 曲面 $M$ の向き付け二重被覆 $q:\tilde{M}\to M$ を、$\tilde{M}=\{(x,{\mu }_x)\mid x\in M,{\mu }_x\text{ は }{H}_2(M,M\setminus \{x\})\text{ の生成元}\}$、$q(x,{\mu }_x)=x$ で定める。ここで $\tilde{M}$ の位相は、$M$ の座標円板 $B$ と $H_2(M,M\setminus B)$ の生成元 ${\mu }_B$ の組ごとに定まる集合 $U({\mu }_B)=\{(x,{\mu }_x)\mid x\in B,{\mu }_x\text{ は }{\mu }_B\text{ の像}\}$ 全体を開基とするものである。$\tilde{M}$ は曲面であり、$q$ は 2 重被覆写像で、各 $U({\mu }_B)$ について $q{|}_{U({\mu }_B)}:U({\mu }_B)\to B$ は同相である。さらに、$M$ が閉曲面のとき「$\tilde{M}$ が連結」と「$M$ が向き付け不可能」は同値である。