代数的位相幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的位相幾何

$2$ つの六角形 $P_{1}, P_{2}$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$P_{1} : a b c b^{- 1} d e, P_{2} : a f d f^{- 1} c^{- 1} e^{- 1}$
ここで、文字 $x$ はその辺を反時計回りの向きに、 $x^{- 1}$ は時計回りの向きにたどることを表す。同じ文字の $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $X$ とする（ $X$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群が $H_{1} (X; Z) ≅ Z^{r} \oplus (Z /2)^{s}$ （ $r, s$ は $0$ 以上の整数）と表されるとき、組 $(r, s)$ を求めよ。

この問題で使うもの

閉曲面の分類と多角形の貼り合わせ（説明と入口の問題）
CW 複体のオイラー標数（説明と入口の問題）
CW 複体の胞体ホモロジー（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

閉曲面は「向き付け可能かどうか」と「オイラー標数」で分類されます。頂点の同一視類の個数を数えて $χ$ を求め、向き付け可能性を調べましょう。

ヒント 2

向き付け可能であることは、多角形の向きをうまく選んで、すべての辺の対を指数 $+ 1$ と $- 1$ の組にできることと同値です。 $P_{2}$ をそのまま使う場合と反転する場合の両方を調べてください。また $H_{1} (N_{h}; Z) ≅ Z^{h - 1} \oplus Z /2$ です。

ヒント 3

頂点はすべて $1$ 点に同一視されるので、 $χ = 1 - 6 + 2 = - 3$ です。辺 $a$ と辺 $c$ に注目すると、 $X$ が向き付け不可能であることがわかります。

答えと解説

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(4, 1)

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解説を読む

1. 頂点の同一視

$P_{1}$ の頂点を反時計回りに $v_{0}, \dots, v_{5}$ 、 $P_{2}$ の頂点を $w_{0}, \dots, w_{5}$ とし、 $i$ 番目の辺は $v_{i - 1}$ と $v_{i}$ （ $P_{2}$ では $w_{i - 1}$ と $w_{i}$ ）を結ぶとする（添字は $6$ を法とする）。各辺の始点・終点は次のとおり。

$P_{1}$ ： $a : v_{0} \to v_{1}$ 、 $b : v_{1} \to v_{2}$ 、 $c : v_{2} \to v_{3}$ 、 $b : v_{4} \to v_{3}$ 、 $d : v_{4} \to v_{5}$ 、 $e : v_{5} \to v_{0}$
$P_{2}$ ： $a : w_{0} \to w_{1}$ 、 $f : w_{1} \to w_{2}$ 、 $d : w_{2} \to w_{3}$ 、 $f : w_{4} \to w_{3}$ 、 $c : w_{5} \to w_{4}$ 、 $e : w_{0} \to w_{5}$

始点どうし・終点どうしを同一視すると、次の関係が得られる。

$a$ ： $v_{0} \sim w_{0}, v_{1} \sim w_{1}$
$b$ ： $v_{1} \sim v_{4}, v_{2} \sim v_{3}$
$c$ ： $v_{2} \sim w_{5}, v_{3} \sim w_{4}$
$d$ ： $v_{4} \sim w_{2}, v_{5} \sim w_{3}$
$e$ ： $v_{5} \sim w_{0}, v_{0} \sim w_{5}$
$f$ ： $w_{1} \sim w_{4}, w_{2} \sim w_{3}$

$v_{0}$ から関係を順にたどると
$v_{0} \sim w_{0} \sim v_{5} \sim w_{3} \sim w_{2} \sim v_{4} \sim v_{1} \sim w_{1} \sim w_{4} \sim v_{3} \sim v_{2} \sim w_{5} \sim v_{0}$
となり、 $12$ 個の頂点すべてが $1$ 点に同一視される。よって頂点数は $V = 1$ である。

2. オイラー標数

辺数は $E = 6$ 、面数は $F = 2$ なので
$χ (X) = V - E + F = 1 - 6 + 2 = - 3.$

3. 向き付け可能性

$X$ が向き付け可能であるための必要十分条件は、各多角形の向きをうまく選んで、同一視されるすべての辺の対が互いに逆向き（指数が $+ 1$ と $- 1$ ）になるようにできることである。 $P_{1}$ の向きはそのままにしてよい。

$P_{2}$ もそのままにすると、 $a$ は $P_{1}$ でも $P_{2}$ でも指数 $+ 1$ になるので条件に反する。
$P_{2}$ の向きを反転すると、すべての指数が反転する。 $c$ は $P_{2}$ で指数 $+ 1$ になり、 $P_{1}$ の $c$ （指数 $+ 1$ ）と一致するので、やはり条件に反する。

なお、同じ多角形内の対 $b, b^{- 1}$ と $f, f^{- 1}$ は、どちらの選び方でも逆向きのままである。以上より $X$ は向き付け不可能である。

4. 分類定理の適用

閉曲面の分類定理によれば、向き付け不可能な閉曲面は $h$ 個の $R P^{2}$ の連結和 $N_{h}$ に同相で、 $χ (N_{h}) = 2 - h$ である。 $2 - h = - 3$ より $h = 5$ なので、 $X ≅ N_{5}$ である。

$N_{h}$ は $1$ 頂点・ $h$ 辺・ $1$ 面の胞体構造（語 $x_{1} x_{1} x_{2} x_{2} \dots x_{h} x_{h}$ ）をもつ。境界写像は $\partial_{1} = 0$ 、 $\partial_{2} = 2 (x_{1} + \dots + x_{h})$ なので
$H_{1} (N_{h}; Z) ≅ Z^{h - 1} \oplus Z /2.$
したがって $H_{1} (X; Z) ≅ Z^{4} \oplus Z /2$ である。

5. 検算（与えられた胞体構造で直接計算）

頂点が $1$ つなので $\partial_{1} = 0$ であり、 $C_{1} = Z^{6}$ （基底 $a, b, c, d, e, f$ ）となる。 $2$ 胞体の境界を可換化すると
$\partial P_{1} = a + b + c - b + d + e = a + c + d + e,$
$\partial P_{2} = a + f + d - f - c - e = a - c + d - e$
となる。 $(a, c, d, e)$ 成分の行列 $(11 1 - 1 11 1 - 1)$ について、成分の最大公約数は $1$ 、 $2$ 次小行列式は $- 2, 0, - 2, 2, 0, - 2$ でその最大公約数は $2$ である。よって単因子は $1, 2$ となり、
$H_{1} ≅ Z^{6 - 2} \oplus Z /2 = Z^{4} \oplus Z /2$
が得られ、上の結果と一致する。

以上より $(r, s) = (4, 1)$ である。

別解

まず頂点の同一視を調べる。 $P_{1}$ の頂点を $v_{0}, \dots, v_{5}$ 、 $P_{2}$ の頂点を $w_{0}, \dots, w_{5}$ とし、各辺の始点と終点を求める。

$P_{1}$ では $a : v_{0} \to v_{1}$ 、 $b : v_{1} \to v_{2}$ および $b : v_{4} \to v_{3}$ 、 $c : v_{2} \to v_{3}$ 、 $d : v_{4} \to v_{5}$ 、 $e : v_{5} \to v_{0}$ となる。

$P_{2}$ では $a : w_{0} \to w_{1}$ 、 $f : w_{1} \to w_{2}$ および $f : w_{4} \to w_{3}$ 、 $d : w_{2} \to w_{3}$ 、 $c : w_{5} \to w_{4}$ 、 $e : w_{0} \to w_{5}$ となる。

各辺での同一視から次が得られる。
- $a$ : $v_{0} = w_{0}$ 、 $v_{1} = w_{1}$
- $b$ : $v_{1} = v_{4}$ 、 $v_{2} = v_{3}$
- $c$ : $v_{2} = w_{5}$ 、 $v_{3} = w_{4}$
- $d$ : $v_{4} = w_{2}$ 、 $v_{5} = w_{3}$
- $e$ : $v_{5} = w_{0}$ 、 $v_{0} = w_{5}$
- $f$ : $w_{1} = w_{4}$ 、 $w_{2} = w_{3}$

これらを順にたどると、 $v_{0} = w_{0} = v_{5} = w_{5} = v_{2} = v_{3} = w_{4} = w_{1} = v_{1} = v_{4} = w_{2} = w_{3}$ となり、頂点はすべて 1 点になる。よって $V = 1$ 、 $E = 6$ 、 $F = 2$ で、 $χ = 1 - 6 + 2 = - 3$ である。

文字 $a$ は $P_{1}$ 、 $P_{2}$ のどちらにも同じ指数 $a$ で現れる。したがって $X$ は向き付け不可能な閉曲面である。

向き付け不可能な閉曲面 $N_{g}$ は $χ = 2 - g$ をみたすので、 $g = 5$ となる。 $N_{5}$ のホモロジーは $H_{1} (N_{5}; Z) ≅ Z^{4} \oplus Z /2$ である。

したがって $(r, s) = (4, 1)$ である。

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