CW 複体のオイラー標数

有限 CW 複体のオイラー標数を、胞体の個数の交代和 $χ = \sum_{k} (- 1)^{k} c_{k}$ とベッチ数の交代和 $χ = \sum_{k} (- 1)^{k} b_{k}$ のどちらでも求められる。積の公式 $χ (X \times Y) = χ (X) χ (Y)$ と、 $n$ 重被覆 $Y \to X$ での $χ (Y) = n χ (X)$ を使える（例: $χ (C P^{n}) = n + 1$ 、種数 $2$ の閉曲面の $3$ 重被覆の全空間は $χ = - 6$ で種数 $4$ ）。グラスマン多様体 $Gr_{k} (R^{n})$ のシューベルト胞体（ $k \times (n - k)$ の箱に入るヤング図形 $λ$ ごとに次元 $∣ λ ∣$ の胞体）から $χ = \sum_{λ} (- 1)^{∣ λ ∣}$ （ $q$ 二項係数の $q = - 1$ での値）を求められる（例: $χ (Gr_{2} (R^{6})) = 3$ ）

前提

CW 複体の胞体ホモロジー（大学院数学代数的位相幾何）

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算数中学高校大学大学院

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CW 複体の胞体ホモロジー（大学院数学代数的位相幾何）

説明

有限 CW 複体 $X$ のオイラー標数 $χ (X)$ を、 $k$ 次元胞体の個数 $c_{k}$ の交代和 $\sum_{k} (- 1)^{k} c_{k}$ としても、ベッチ数 $b_{k}$ の交代和 $\sum_{k} (- 1)^{k} b_{k}$ としても計算できるようになります。ホモロジーを全部求めなくても胞体を数えるだけで得られ、逆にホモロジーがわかっていれば胞体分割を選ばずに得られるのが強みです。積空間・有限被覆・グラスマン多様体のように胞体分割が組合せ論的に記述できる空間で、位相不変量をすばやく出すのに使います。

なぜそうしてよいのか

胞体鎖複体 $\dots \to C_{k} \partial_{k} C_{k - 1} \to \dots$ を有理数係数で考えると、 $C_{k} \otimes Q$ は次元 $c_{k}$ のベクトル空間で、 $Z_{k} = ker \partial_{k}$ 、 $B_{k - 1} = im \partial_{k}$ とおくと次元定理より $c_{k} = dim Z_{k} + dim B_{k - 1}$ です。また $H_{k} (X; Q) = Z_{k} / B_{k}$ の次元はベッチ数 $b_{k}$ （整数係数ホモロジーの自由部分の階数）なので $b_{k} = dim Z_{k} - dim B_{k}$ 。交代和をとると $k \sum (- 1)^{k} c_{k} = k \sum (- 1)^{k} (dim Z_{k} + dim B_{k - 1}) = k \sum (- 1)^{k} (dim Z_{k} - dim B_{k}) = k \sum (- 1)^{k} b_{k}$ と $B$ の項が打ち消し合います。右辺はホモロジーで決まるので、胞体分割の選び方によらない位相不変量です。

この「胞体を数えればよい」から公式が導けます。積 $X \times Y$ には胞体 $e^{i} \times e^{j}$ （次元 $i + j$ ）からなる CW 構造があるので、 $\sum_{k} (- 1)^{k} \sum_{i + j = k} c_{i} (X) c_{j} (Y) = (\sum_{i} (- 1)^{i} c_{i} (X)) (\sum_{j} (- 1)^{j} c_{j} (Y))$ より $χ (X \times Y) = χ (X) χ (Y)$ 。 $n$ 重被覆 $p : Y \to X$ では、各開胞体は円板と同相で単連結なので、その逆像は $n$ 個の互いに交わらない同次元の胞体に分かれ、 $Y$ の CW 構造で $c_{k} (Y) = n c_{k} (X)$ 、よって $χ (Y) = n χ (X)$ です。

実グラスマン多様体 $Gr_{k} (R^{n})$ （ $R^{n}$ の $k$ 次元部分空間全体）には、 $k$ 行 $n - k$ 列の箱に入るヤング図形 $λ$ （行の長さ $n - k \geq λ_{1} \geq \dots \geq λ_{k} \geq 0$ ）ごとに次元 $∣ λ ∣ = \sum λ_{i}$ の胞体が 1 個ずつある胞体分割（シューベルト胞体）があります。したがって $χ = \sum_{λ} (- 1)^{∣ λ ∣}$ で、これは箱に入るヤング図形の母関数 $\sum_{λ} q^{∣ λ ∣}$ （ $q$ 二項係数 $(k n)_{q}$ ）に $q = - 1$ を代入した値です。

手順

空間の胞体分割を 1 つ選び、各次元の胞体の個数 $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \dots$ を数える（積なら各因子の胞体の積、グラスマン多様体なら箱に入るヤング図形をサイズ別に数える）
$χ = c_{0} - c_{1} + c_{2} - \dots$ を計算する
ホモロジーがわかっているときは、各 $H_{k}$ の自由部分の階数 $b_{k}$ をとり $χ = b_{0} - b_{1} + b_{2} - \dots$ で計算する（ねじれ部分は数えない）
積空間なら $χ (X \times Y) = χ (X) χ (Y)$ 、 $n$ 重被覆 $Y \to X$ なら $χ (Y) = n χ (X)$ で、既知の空間に帰着する

例題

実グラスマン多様体 $Gr_{2} (R^{5})$ （ $R^{5}$ の $2$ 次元部分空間全体のなす $6$ 次元多様体）のオイラー標数を求めよ。

例題の解答

手順 1: シューベルト胞体は $2$ 行 $3$ 列の箱に入るヤング図形 $λ = (λ_{1}, λ_{2})$ （ $3 \geq λ_{1} \geq λ_{2} \geq 0$ ）に対応し、次元は $∣ λ ∣ = λ_{1} + λ_{2}$ 。サイズ別に数えると
- $∣ λ ∣ = 0$ : $(0, 0)$ の $1$ 個
- $∣ λ ∣ = 1$ : $(1, 0)$ の $1$ 個
- $∣ λ ∣ = 2$ : $(2, 0), (1, 1)$ の $2$ 個
- $∣ λ ∣ = 3$ : $(3, 0), (2, 1)$ の $2$ 個
- $∣ λ ∣ = 4$ : $(3, 1), (2, 2)$ の $2$ 個
- $∣ λ ∣ = 5$ : $(3, 2)$ の $1$ 個
- $∣ λ ∣ = 6$ : $(3, 3)$ の $1$ 個

よって $(c_{0}, \dots, c_{6}) = (1, 1, 2, 2, 2, 1, 1)$ （合計 $10 = (2 5)$ 個）。

手順 2: $χ = 1 - 1 + 2 - 2 + 2 - 1 + 1 = 2.$

答え: $2$

よくある誤り

整数係数ホモロジーのねじれ部分までベッチ数に数えてしまう誤り。 $R P^{2}$ で $H_{0} = Z, H_{1} = Z /2, H_{2} = 0$ から $χ = 1 - 1 + 0 = 0$ とするのは誤りで、正しくは $b_{1} = 0$ なので $χ (R P^{2}) = 1$ です（胞体の個数 $1 - 1 + 1 = 1$ とも一致します）
被覆の公式を逆向きに使ってしまう誤り。 $n$ 倍になるのは被覆する側（全空間）で、 $2$ 重被覆 $S^{2} \to R P^{2}$ では $χ (S^{2}) = 2 χ (R P^{2}) = 2$ です。 $χ (R P^{2}) = 2 χ (S^{2}) = 4$ ではありません。また分岐をもつ写像（分岐被覆）にはこの公式はそのままでは使えません
胞体の個数を符号なしで足してしまう誤り。 $Gr_{2} (R^{5})$ の胞体の総数 $(2 5) = 10$ はオイラー標数ではなく、正しくは次元の偶奇で符号を付けた $\sum_{λ} (- 1)^{∣ λ ∣} = 2$ です（複素グラスマン多様体では胞体の実次元 $2∣ λ ∣$ がすべて偶数なので総数 $10$ がそのまま $χ$ になります）
積のオイラー標数を和にしてしまう誤り。 $χ (S^{2} \times R P^{2}) = χ (S^{2}) + χ (R P^{2}) = 3$ ではなく、正しくは $χ (S^{2}) χ (R P^{2}) = 2 \cdot 1 = 2$ です

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
有限 CW 複体 $X$ は、 $0$ 胞体を $4$ 個、 $1$ 胞体を $7$ 個、 $2$ 胞体を $5$ 個、 $3$ 胞体を $1$ 個もち、それ以外の次元の胞体をもたない。 $X$ のオイラー標数 $χ (X)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

閉曲面の分類と多角形の貼り合わせ（大学院数学代数的位相幾何）