代数的位相幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的位相幾何

$3$ 枚の六角形 $P, Q, R$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$P : a b c b^{- 1} d e, Q : a^{- 1} f g f^{- 1} d^{- 1} i, R : c h g^{- 1} e h^{- 1} i^{- 1}$
ここで、文字 $x$ はその辺の向きが反時計回りの向きと一致することを、 $x^{- 1}$ は逆向きであることを表す。 $9$ 種類の文字 $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ はそれぞれちょうど $2$ 回ずつ現れる。同じ文字のついた $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $M$ とする（ $M$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群を $H_{1} (M; Z) ≅ Z^{r} \oplus T$ （ $r$ は $0$ 以上の整数、 $T$ は有限アーベル群）と表すとき、 $r$ と $T$ の位数 $∣ T ∣$ の組 $(r, ∣ T ∣)$ を求めよ。

この問題で使うもの

閉曲面の分類と多角形の貼り合わせ（説明と入口の問題）
CW 複体のオイラー標数（説明と入口の問題）
CW 複体の胞体ホモロジー（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

分類定理より、閉曲面はオイラー標数と向き付け可能性で決まる。頂点がいくつに同一視されるかを数え、 $χ = V - E + F$ を求めよう。向き付け可能性は、 $3$ 枚の多角形に向きを選んで、すべての辺で境界の向きが逆になるようにできるかどうかで判定する。

ヒント 2

辺が多角形 $X$ に指数 $s$ 、多角形 $Y$ に指数 $t$ で現れるとき、向きが両立する条件は $ε_{X} s = - ε_{Y} t$ である。 $P$ – $Q$ 、 $Q$ – $R$ 、 $R$ – $P$ の間の辺がそれぞれどの条件を課すかを調べよう。また $H_{1} (Σ_{g}) ≅ Z^{2 g}$ 、 $H_{1} (N_{h}) ≅ Z^{h - 1} \oplus Z /2$ である。

ヒント 3

頂点は $9$ 個ずつの $2$ つの類に分かれるので $V = 2$ であり、 $χ = 2 - 9 + 3 = - 4$ となる。また $ε_{P} = ε_{Q} = ε_{R}$ かつ $ε_{P} = - ε_{R}$ が要求されるので、 $M$ は向き付け不可能である。

答えと解説

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(5, 2)

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解説を読む

方針. $M$ のオイラー標数と向き付け可能性を調べ、曲面の分類定理で $M$ を決定してから $H_{1}$ を求める。

1. 頂点の同一視. $P$ の頂点を反時計回りに $p_{0}, \dots, p_{5}$ とし、 $k$ 番目の辺が $p_{k - 1}$ から $p_{k}$ へ向かう（添字は $mod 6$ ）とする。 $Q, R$ についても同様に $q_{0}, \dots, q_{5}$ 、 $r_{0}, \dots, r_{5}$ とおく。各辺の始点と終点は次のとおりである（ $x^{- 1}$ の辺では始点と終点が入れかわる）。

$P$ : $a : p_{0} \to p_{1}$ , $b : p_{1} \to p_{2}$ , $c : p_{2} \to p_{3}$ , $b : p_{4} \to p_{3}$ , $d : p_{4} \to p_{5}$ , $e : p_{5} \to p_{0}$
$Q$ : $a : q_{1} \to q_{0}$ , $f : q_{1} \to q_{2}$ , $g : q_{2} \to q_{3}$ , $f : q_{4} \to q_{3}$ , $d : q_{5} \to q_{4}$ , $i : q_{5} \to q_{0}$
$R$ : $c : r_{0} \to r_{1}$ , $h : r_{1} \to r_{2}$ , $g : r_{3} \to r_{2}$ , $e : r_{3} \to r_{4}$ , $h : r_{5} \to r_{4}$ , $i : r_{0} \to r_{5}$

同じ文字の辺どうしで始点どうし・終点どうしを同一視すると、次の等式が得られる。
$a : p_{0} = q_{1}, p_{1} = q_{0}$ 。 $b : p_{1} = p_{4}, p_{2} = p_{3}$ 。 $c : p_{2} = r_{0}, p_{3} = r_{1}$ 。 $d : p_{4} = q_{5}, p_{5} = q_{4}$ 。 $e : p_{5} = r_{3}, p_{0} = r_{4}$ 。 $f : q_{1} = q_{4}, q_{2} = q_{3}$ 。 $g : q_{2} = r_{3}, q_{3} = r_{2}$ 。 $h : r_{1} = r_{5}, r_{2} = r_{4}$ 。 $i : q_{5} = r_{0}, q_{0} = r_{5}$ 。

これらをたどると、頂点は次の $2$ つの類に分かれる。
$A = {p_{0}, q_{1}, r_{4}, q_{4}, p_{5}, r_{3}, q_{2}, q_{3}, r_{2}}, B = {p_{1}, q_{0}, p_{4}, q_{5}, r_{0}, r_{5}, r_{1}, p_{2}, p_{3}}$
上の $18$ 個の等式はどれも $A$ の中だけ、または $B$ の中だけの等式なので、 $A$ と $B$ は別の頂点になる。よって $V = 2$ である。

2. オイラー標数. 辺の数は $E = 9$ 、面の数は $F = 3$ なので
$χ (M) = V - E + F = 2 - 9 + 3 = - 4$
となる。

3. 向き付け可能性. 多角形を貼り合わせた閉曲面が向き付け可能であるのは、各多角形に向き $ε_{P}, ε_{Q}, ε_{R} \in {\pm 1}$ を選び、すべての辺で $2$ つの境界の向きが互いに逆になるようにできるときであり、そのときに限る。辺が多角形 $X$ に指数 $s$ 、多角形 $Y$ に指数 $t$ で現れるとき、この条件は $ε_{X} s = - ε_{Y} t$ である。

$b, f, h$ はそれぞれ同じ多角形の中に $x$ と $x^{- 1}$ で現れるので、条件は常に満たされる。
$a, d$ は $P$ に指数 $+ 1$ 、 $Q$ に指数 $- 1$ で現れるので、 $ε_{P} = ε_{Q}$ が必要である。
$g, i$ は $Q$ に指数 $+ 1$ 、 $R$ に指数 $- 1$ で現れるので、 $ε_{Q} = ε_{R}$ が必要である。
$c, e$ は $P$ にも $R$ にも指数 $+ 1$ で現れるので、 $ε_{P} = - ε_{R}$ が必要である。

3 つをあわせると $ε_{P} = ε_{Q} = ε_{R} = - ε_{P}$ となり、矛盾する。よって $M$ は向き付け不可能である。どの多角形の中にも $x \dots x$ の形の対はないが、 $P \to Q \to R \to P$ と一周すると向きが反転する。

4. 分類. 向き付け不可能な閉曲面は、ある $h$ について $N_{h} = #^{h} RP^{2}$ と同相であり、 $χ (N_{h}) = 2 - h$ である。 $2 - h = - 4$ より $h = 6$ となり、 $M ≅ N_{6}$ である。

5. ホモロジー. $N_{h}$ の標準的な CW 構造（ $1$ 頂点、 $h$ 本の辺、 $2$ 胞体の境界 $2 (c_{1} + \dots + c_{h})$ ）から $H_{1} (N_{h}; Z) ≅ Z^{h - 1} \oplus Z /2$ である。よって
$H_{1} (M; Z) ≅ Z^{5} \oplus Z /2$
となる。

検算（与えられた胞体構造で直接計算する）. 境界写像は
$\partial P = a + c + d + e, \partial Q = - a - d + g + i, \partial R = c + e - g - i$
である。これらは一次独立なので $rank \partial_{2} = 3$ 。 $M$ は連結で頂点が $2$ 個なので $rank ker \partial_{1} = 9 - 1 = 8$ 。したがって階数は $8 - 3 = 5$ である。

また $\partial P + \partial Q + \partial R = 2 (c + e)$ である。一方、 $c + e$ を $x \partial P + y \partial Q + z \partial R$ と表そうとすると $x = y = z = \frac{1}{2}$ となり、整数係数では表せない。よって $c + e$ は位数 $2$ のホモロジー類を与え、 $T ≅ Z /2$ であることと合う。

以上より $(r, ∣ T ∣) = (5, 2)$ である。

別解

各六角形の頂点を $P_{0}, \dots, P_{5}$ （ $Q, R$ も同様）とし、各辺の始点と終点を求めて頂点を同一視する。

【頂点の数】
$a$ : $P_{0} \sim Q_{1}, P_{1} \sim Q_{0}$ 。
$b$ : $P_{1} \sim P_{4}, P_{2} \sim P_{3}$ 。
$c$ : $P_{2} \sim R_{0}, P_{3} \sim R_{1}$ 。
$d$ : $P_{4} \sim Q_{5}, P_{5} \sim Q_{4}$ 。
$e$ : $P_{5} \sim R_{3}, P_{0} \sim R_{4}$ 。
$f$ : $Q_{1} \sim Q_{4}, Q_{2} \sim Q_{3}$ 。
$g$ : $Q_{2} \sim R_{3}, Q_{3} \sim R_{2}$ 。
$h$ : $R_{1} \sim R_{5}, R_{2} \sim R_{4}$ 。
$i$ : $Q_{5} \sim R_{0}, Q_{0} \sim R_{5}$ 。

これらから、頂点は次の 2 つの同値類にまとまる。
${P_{0}, P_{5}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}, R_{2}, R_{3}, R_{4}}$ と ${P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, Q_{0}, Q_{5}, R_{0}, R_{1}, R_{5}}$ 。
よって $V = 2$ 、 $E = 9$ 、 $F = 3$ で $χ = 2 - 9 + 3 = - 4$ 。

【向き付け可能性】
辺 $c$ は $P$ と $R$ に同じ向きで現れるので、 $P$ と $R$ の向きは逆にとる必要がある。
辺 $g$ は $Q$ に $g$ 、 $R$ に $g^{- 1}$ で現れるので、 $Q$ と $R$ の向きは同じにとる必要がある。
辺 $a$ は $P$ に $a$ 、 $Q$ に $a^{- 1}$ で現れるので、 $P$ と $Q$ の向きは同じにとる必要がある。
これら 3 条件から $P$ と $R$ は同じ向きになり、 $c$ から得た条件と矛盾する。したがって $M$ は向き付け不可能である。

【ホモロジー群】
向き付け不可能な閉曲面は連結和 $N_{k}$ で、 $χ = 2 - k$ より $k = 6$ 。
$H_{1} (N_{k}; Z) ≅ Z^{k - 1} \oplus Z /2$ なので、 $H_{1} (M; Z) ≅ Z^{5} \oplus Z /2$ 。
ゆえに $r = 5$ 、 $∣ T ∣ = 2$ 。

【検算】
$χ = 1 - rank H_{1} + rank H_{2} = 1 - 5 + 0 = - 4$ となり、上の $χ$ と一致する。

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