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代数的位相幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的位相幾何

CW 複体 $X$ を次のように構成する。

- $0$ 胞体は $1$ 個の点 $v$ のみ
- $1$ 胞体は $a, b, c$ の $3$ 個（いずれも両端が $v$ に貼られ、向きが定められたループ）
- $2$ 胞体は $e_{1}, e_{2}$ の $2$ 個で、境界の円周をそれぞれ $1$ 骨格の語
$e_{1} : a b a b^{- 1} c^{2}, e_{2} : a^{- 1} c b^{3} c$
に沿って貼り付ける（指数 $- 1$ は逆向きにたどることを表す）

整数係数ホモロジー群 $H_{1} (X; Z)$ を有限生成アーベル群として $H_{1} (X; Z) ≅ Z^{r} \oplus T$ （ $T$ は有限アーベル群）と表すとき、階数 $r$ と $T$ の位数 $∣ T ∣$ の組 $(r, ∣ T ∣)$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

CW 複体の胞体ホモロジー（説明と入口の問題）
整数行列の単因子（スミス標準形）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$0$ 胞体が $1$ 個なので $\partial_{1} = 0$ であり、 $H_{1} (X) = C_{1} / im \partial_{2}$ となる。 $\partial_{2}$ を求めよう。

ヒント 2

$2$ 胞体の境界は貼り付けの語の各文字の指数和で決まる。 $\partial_{2}$ を $2 \times 3$ 行列で表し、スミス標準形（単因子）を求める。

ヒント 3

$\partial_{2} e_{1} = 2 a + 2 c$ , $\partial_{2} e_{2} = - a + 3 b + 2 c$ 。単因子は、成分の最大公約数と $2$ 次小行列式の最大公約数から求められる。

答えと解説

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(1, 6)

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解説を読む

1. 胞体鎖複体. 胞体鎖複体は
$0 \to C_{2} = Z e_{1} \oplus Z e_{2} \partial_{2} C_{1} = Z a \oplus Z b \oplus Z c \partial_{1} C_{0} = Z v \to 0.$
$0$ 胞体が $1$ 個で、各 $1$ 胞体は両端が $v$ なので $\partial_{1} = 0$ 。よって $H_{1} (X) = C_{1} / im \partial_{2}$ 。

2. $\partial_{2}$ の計算. $2$ 胞体の境界は、貼り付けの語に各 $1$ 胞体が現れる指数の和（語のアーベル化）で与えられる。
- $e_{1} = a b a b^{- 1} c^{2}$ : $a$ の指数和 $2$ 、 $b$ は $1 - 1 = 0$ 、 $c$ は $2$ 。よって $\partial_{2} e_{1} = 2 a + 2 c$ 。
- $e_{2} = a^{- 1} c b^{3} c$ : $a$ は $- 1$ 、 $b$ は $3$ 、 $c$ は $1 + 1 = 2$ 。よって $\partial_{2} e_{2} = - a + 3 b + 2 c$ 。

$\partial_{2}$ の像を行に並べた行列は
$M = (2 - 1 0322) .$

3. スミス標準形. 単因子を $d_{1} ∣ d_{2}$ とすると、 $d_{1}$ は成分の最大公約数、 $d_{1} d_{2}$ は $2$ 次小行列式の最大公約数である。
- 成分に $- 1$ があるので $d_{1} = 1$ 。
- $2$ 次小行列式: $2 - 1 03 = 6$ , $2 - 1 22 = 6$ , $0322 = - 6$ 。最大公約数は $6$ なので $d_{1} d_{2} = 6$ 、 $d_{2} = 6$ 。

したがって
$H_{1} (X; Z) ≅ Z^{3} / im \partial_{2} ≅ Z /1 \oplus Z /6 \oplus Z ≅ Z \oplus Z /6.$

4. 確認. $M$ の階数は $2$ なので $\partial_{2}$ は単射で $H_{2} (X) = 0$ 。オイラー標数は胞体の数から $1 - 3 + 2 = 0$ 、ベッチ数から $b_{0} - b_{1} + b_{2} = 1 - 1 + 0 = 0$ で一致する。

よって $(r, ∣ T ∣) = (1, 6)$ 。

別解

$X$ の 1 胞体は 3 個、2 胞体は 2 個、0 胞体は 1 個で、1 胞体は閉ループなので $\partial_{1} = 0$ 。 $H_{1} (X) = Z^{3} / im \partial_{2}$ 。

$\partial_{2}$ は境界の語をアーベル化して得る。
$e_{1} : a + b + a - b + 2 c = 2 a + 2 c$ 、すなわち $(2, 0, 2)$ 。
$e_{2} : - a + c + 3 b + c = - a + 3 b + 2 c$ 、すなわち $(- 1, 3, 2)$ 。

関係行列 $(2 - 1 0322)$ のスミス標準形を求める。成分の gcd は $1$ なので $d_{1} = 1$ 。 $2 \times 2$ 小行列式は $2 \cdot 3 - 0 \cdot (- 1) = 6$ , $2 \cdot 2 - 2 \cdot (- 1) = 6$ , $0 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = - 6$ で gcd は $6$ なので $d_{1} d_{2} = 6$ 、 $d_{2} = 6$ 。

よって $H_{1} (X; Z) ≅ Z^{3 - 2} \oplus Z /6 = Z \oplus Z /6$ 。階数 $r = 1$ 、 $∣ T ∣ = 6$ 。

検算: 関係 $a = - c$ (第 1 式を $2 (a + c) = 0$ とみて $u = a + c$ とおく) と置き換えると、 $a = u - c$ として第 2 式は $- (u - c) + 3 b + 2 c = - u + 3 b + 3 c = 0$ 。生成元 $u, b, c$ で関係は $2 u = 0$ , $- u + 3 b + 3 c = 0$ 。 $w = b + c$ とおくと関係は $2 u = 0$ , $u = 3 w$ から $6 w = 0$ 。生成元 $w, c$ ( $u = 3 w$ , $b = w - c$ )で、 $c$ が自由、 $w$ が位数 $6$ となり一致する。

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