CW 複体の胞体ホモロジー

CW 複体の胞体鎖複体を作り、整数係数ホモロジー群のベッチ数とねじれ部分の位数を求められる。頂点が 1 個の 2 次元 CW 複体では、 $2$ 胞体の接着語の各文字の指数和を並べた行列が $\partial_{2}$ になり、 $\partial_{1} = 0$ であることを使える（例: トーラスに語 $a^{3} b^{6}$ に沿って $2$ 胞体を接着すると、 $\partial_{2}$ の行は $(0, 0), (3, 6)$ で、 $H_{1} ≅ Z \oplus Z /3$ 、 $H_{2} ≅ Z$ 、 $(b_{1}, b_{2}, t) = (1, 1, 3)$ ）。 $R P^{n}$ ・ $C P^{n}$ ・ $S^{n}$ の標準的な胞体分割から整数係数ホモロジーを求められる

前提

単体複体のホモロジーとベッチ数（大学院数学代数的位相幾何）
整数行列の単因子（スミス標準形）（大学院数学群論）

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算数中学高校大学大学院

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整数行列の単因子（スミス標準形）（大学院数学群論）

説明

CW 複体は、点（0 胞体）から始めて、円板 $D^{n}$ （ $n$ 胞体）をその境界 $S^{n - 1}$ に沿ってすでにある部分へ次々と貼り付けて作る空間です。胞体ホモロジーでは、 $n$ 胞体を基底とする自由アーベル群 $C_{n}$ と、胞体の境界が 1 つ下の胞体を何回（向きつきで）回るかを表す整数行列 $\partial_{n}$ からホモロジー群を計算します。単体複体よりはるかに少ない個数の胞体で済むので、トーラスや射影空間、 $2$ 胞体を語に沿って貼った空間などの整数係数ホモロジー（ベッチ数とねじれ部分）を手早く求められます。

なぜそうしてよいのか

単体ホモロジーでは $C_{k}$ は $k$ 単体を基底とし、 $\partial_{k}$ は単体を境界の面の符号つき和に送りました。胞体ホモロジーも同じ形で、 $C_{n}$ を $n$ 胞体を基底とする $Z$ 上の自由加群、 $\partial_{n} (e^{n}) = \sum_{e^{n - 1}} d e^{n - 1}$ とします。ここで $d$ は、 $e^{n}$ の境界の球面が貼り付け写像で $e^{n - 1}$ の上を（その胞体以外をつぶして見たとき）向きを込めて何回覆うかという整数（写像度）です。 $\partial_{n} \partial_{n + 1} = 0$ が成り立ち、 $H_{n} = ker \partial_{n} / Im \partial_{n + 1}$ が空間のホモロジー群に一致することが知られています（ここは事実として使います）。

頂点が 1 個 $v$ の 2 次元 CW 複体では、 $1$ 胞体 $a, b, \dots$ はどれも $v$ から $v$ への輪なので $\partial_{1} (a) = v - v = 0$ です。 $2$ 胞体 $D$ を語 $w$ （例えば $a^{2} ba b^{- 1}$ ）に沿って貼るとは、 $D$ の境界を一周すると $a, b$ の輪を語の順に、指数の符号の向きで回ることです。 $a$ の上を正の向きに回るたびに $+ 1$ 、逆向きに回るたびに $- 1$ が数えられるので、 $\partial_{2} (D)$ の $a$ の係数は $w$ の中の $a$ の指数の和になります。例えば $ab a^{- 1} b^{- 1}$ （トーラス）では $\partial_{2} = 0$ です。

$\partial_{1} = 0$ なので $H_{1} = C_{1} / Im \partial_{2} = Z^{(1 胞体の数)} / ⟨ \partial_{2} の列 ⟩$ で、これは単因子の技能で $Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{r} \oplus Z^{n - r}$ と分解できます。 $H_{2} = ker \partial_{2}$ は自由で、階数は（ $2$ 胞体の数） $- rank \partial_{2}$ です。ベッチ数は単体の場合と同じ $b_{k} = rank C_{k} - rank \partial_{k} - rank \partial_{k + 1}$ 、ねじれ部分は $\partial_{k + 1}$ の単因子 $d_{i} > 1$ から来ます。標準的な分割では、 $S^{n} (n \geq 2)$ は $e^{0} \cup e^{n}$ 、 $C P^{n}$ は $e^{0} \cup e^{2} \cup \dots \cup e^{2 n}$ で、どちらも隣り合う次元に胞体がないので $\partial = 0$ 。 $R P^{n}$ は各次元に 1 個ずつ $e^{0} \cup e^{1} \cup \dots \cup e^{n}$ で、 $\partial_{k}$ は $1 + (- 1)^{k}$ 倍（ $k$ 偶数で $2$ 倍、奇数で $0$ ）になります。

手順

各次元の胞体を数え、 $C_{n} = Z^{(n 胞体の個数)}$ を書く
境界写像 $\partial_{n}$ を整数行列で書く（列を $n$ 胞体、行を $(n - 1)$ 胞体）。頂点 1 個なら $\partial_{1} = 0$ 、 $\partial_{2}$ の列は各 $2$ 胞体の接着語の各文字の指数和
$\partial_{n + 1}$ をスミス標準形 $diag (d_{1}, \dots, d_{r}, 0, \dots)$ にする（または $Δ_{k}$ から $d_{k} = Δ_{k} / Δ_{k - 1}$ ）
$ker \partial_{n}$ の階数 $= rank C_{n} - rank \partial_{n}$ から $b_{n} = rank C_{n} - rank \partial_{n} - rank \partial_{n + 1}$ を求め、ねじれ部分を $Z / d_{1} \oplus \dots$ （ $d_{i} > 1$ のもの）として読む
$H_{n} ≅ Z^{b_{n}} \oplus (ねじれ部分)$ をまとめ、問われている量（ベッチ数・ねじれ部分の位数など）を答える

例題

0 胞体 $v$ が 1 個、1 胞体 $a, b$ が 2 個の $S^{1} \lor S^{1}$ に、2 胞体 $D_{1}$ を語 $a^{2} b^{4}$ に沿って、2 胞体 $D_{2}$ を語 $aba b^{- 1}$ に沿って接着した CW 複体を $X$ とする。整数係数ホモロジーの 1 次・2 次ベッチ数 $b_{1}, b_{2}$ と、 $H_{1} (X; Z)$ のねじれ部分の位数 $t$ を組 $(b_{1}, b_{2}, t)$ として求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $C_{0} = Z v$ 、 $C_{1} = Z a \oplus Z b$ 、 $C_{2} = Z D_{1} \oplus Z D_{2}$ 。

【手順 2】頂点は 1 個なので $\partial_{1} = 0$ 。 $a^{2} b^{4}$ の指数和は $a$ が $2$ 、 $b$ が $4$ 。 $aba b^{- 1}$ の指数和は $a$ が $1 + 1 = 2$ 、 $b$ が $1 - 1 = 0$ 。よって（行 $a, b$ 、列 $D_{1}, D_{2}$ ）
$\partial_{2} = (2420) .$

【手順 3】 $Δ_{1} = g cd (2, 2, 4, 0) = 2$ 、 $Δ_{2} = ∣ det \partial_{2} ∣ = ∣0 - 8∣ = 8$ 。よって $d_{1} = 2, d_{2} = 8/2 = 4$ 、スミス標準形は $diag (2, 4)$ 。

【手順 4】 $rank \partial_{2} = 2$ 、 $\partial_{1} = 0$ 、 $\partial_{3} = 0$ （3 胞体なし）。 $b_{1} = 2 - 0 - 2 = 0$ 、 $b_{2} = 2 - 2 - 0 = 0$ 。 $H_{1} = C_{1} / Im \partial_{2} ≅ Z /2 \oplus Z /4$ 、 $H_{2} = ker \partial_{2} = 0$ 。

【手順 5】ねじれ部分 $Z /2 \oplus Z /4$ の位数は $t = 8$ 。よって $(b_{1}, b_{2}, t) = (0, 0, 8)$ 。

答え: $(0, 0, 8)$

よくある誤り

接着語の文字の個数を数えて指数の符号を無視する誤り。例えばトーラスの語 $ab a^{- 1} b^{- 1}$ で $\partial_{2} (D) = 2 a + 2 b$ とすると $H_{1} ≅ Z \oplus Z /2$ になってしまう。正しくは指数和で $\partial_{2} = 0$ 、 $H_{1} ≅ Z^{2}$ 、 $H_{2} ≅ Z$
頂点が 1 個なのに、 $1$ 胞体の両端を別の点とみて $\partial_{1} \neq = 0$ とする誤り。正しくは $\partial_{1} (a) = v - v = 0$ で、 $H_{0} ≅ Z$ 、 $H_{1} = C_{1} / Im \partial_{2}$
$R P^{n}$ の境界写像をすべて $2$ 倍、またはすべて $0$ とする誤り。例えば $R P^{2}$ で $\partial_{2} = 0$ として $H_{2} ≅ Z$ とする。正しくは $\partial_{k} = 1 + (- 1)^{k}$ なので $\partial_{2} = 2, \partial_{1} = 0$ で、 $H_{1} ≅ Z /2$ 、 $H_{2} = 0$
$H_{n}$ のねじれ部分を $\partial_{n}$ の単因子から読む誤り。正しくは $H_{n} = ker \partial_{n} / Im \partial_{n + 1}$ なので、ねじれは $\partial_{n + 1}$ の単因子 $d_{i} > 1$ から来る（例: $R P^{3}$ では $\partial_{2} = 2$ から $H_{1} ≅ Z /2$ 、 $\partial_{3} = 0$ から $H_{3} ≅ Z$ 、 $H_{2} = ker \partial_{2} = 0$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$0$ 胞体 $x$ を 1 個、 $1$ 胞体 $a, b$ を 2 個（どちらも両端を $x$ に接着したループ）もつ $1$ 次元 CW 複体 $S^{1} \lor S^{1}$ に、 $2$ 胞体 $e$ を 1 個、語
$a^{4} b^{- 1} a^{2} b^{7}$
に沿って接着して得られる CW 複体を $X$ とする。整数係数ホモロジーについて、 $H_{1} (X; Z)$ の階数を $b_{1}$ 、 $H_{2} (X; Z)$ の階数を $b_{2}$ 、 $H_{1} (X; Z)$ のねじれ部分群の位数を $t$ とするとき、組 $(b_{1}, b_{2}, t)$ をこの順に求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

CW 複体のオイラー標数（大学院数学代数的位相幾何）
普遍係数定理とキュネットの公式（大学院数学代数的位相幾何）
基本群の表示とアーベル化（大学院数学代数的位相幾何）
球面の間の写像の写像度（大学院数学代数的位相幾何）