代数的位相幾何の問題

各因子のホモロジー
- $K$: $H_0(K)=\mathbb{Z}$, $H_1(K)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2$, $H_q(K)=0(q\ge 2)$。（1 頂点・辺 $a,b$・2 胞体 1 個で、境界が $aba{b}^{-1}$ の CW 構造をとると、胞体鎖複体は ${\partial }_2(e^2)=2a$, ${\partial }_1=0$ となる。）
- $\mathbb{R}{P}^2$: $H_0=\mathbb{Z}$, $H_1=\mathbb{Z}/2$, $H_q=0(q\ge 2)$。

キュネットの公式
$$H_n(K\times \mathbb{R}{P}^2)\cong \underset{i+j=n}{⨁}{H}_i(K)\otimes H_j(\mathbb{R}{P}^2)\oplus \underset{i+j=n-1}{⨁}\mathrm{Tor}(H_i(K),H_j(\mathbb{R}{P}^2)).$$
ここで $\mathbb{Z}\otimes A=A$, $\mathbb{Z}/2\otimes \mathbb{Z}/2=\mathbb{Z}/2$, $\mathrm{Tor}(\mathbb{Z},A)=0$, $\mathrm{Tor}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ を使う。

$n=1$: テンソル積の部分は $H_1(K)\otimes H_0+H_0\otimes H_1(\mathbb{R}{P}^2)=(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2)\oplus \mathbb{Z}/2$。Tor の部分は $\mathrm{Tor}(H_0,H_0)=0$。よって
$$H_1(X)\cong \mathbb{Z}\oplus (\mathbb{Z}/2{)}^2,t_1=4.$$

$n=2$: テンソル積は $H_1(K)\otimes H_1(\mathbb{R}{P}^2)=(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2)\otimes \mathbb{Z}/2=(\mathbb{Z}/2{)}^2$（$H_2$ はどちらも $0$）。Tor は $i+j=1$ で $\mathrm{Tor}(H_1(K),\mathbb{Z})=0$, $\mathrm{Tor}(\mathbb{Z},H_1(\mathbb{R}{P}^2))=0$。よって
$$H_2(X)\cong (\mathbb{Z}/2{)}^2,t_2=4.$$

$n=3$: $i+j=3$ のテンソル積は $H_2$ を含むのですべて $0$。Tor は $i+j=2$ で、$0$ でないのは $\mathrm{Tor}(H_1(K),H_1(\mathbb{R}{P}^2))=\mathrm{Tor}(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ のみ。よって
$$H_3(X)\cong \mathbb{Z}/2,t_3=2.$$

（検算）$\mathbb{Z}/2$ 係数のベッチ数はキュネットの公式（体係数）から $(1+2s+s^2)(1+s+s^2)=1+3s+4s^2+3s^3+s^4$ の係数 $1,3,4,3,1$ になる。一方、上の整数係数の結果と普遍係数定理 $\dim H_n(X;\mathbb{Z}/2)=\dim (H_n\otimes \mathbb{Z}/2)+\dim \mathrm{Tor}(H_{n-1},\mathbb{Z}/2)$ からも $1,3+0,2+2,1+2,0+1$ となり一致する。

以上より $(t_1,t_2,t_3)=(4,4,2)$。

$H_{\ast }(K)$: $H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2$、$H_2=0$。$H_{\ast }(\mathbb{R}{P}^2)$: $H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}/2$、$H_2=0$。Künneth の公式 $H_n(X)\cong {⨁}_{i+j=n}{H}_i(K)\otimes H_j(\mathbb{R}{P}^2)\oplus {⨁}_{i+j=n-1}\mathrm{Tor}(H_i(K),H_j(\mathbb{R}{P}^2))$ を使う。

$n=1$: テンソル項 $H_0(K)\otimes H_1(\mathbb{R}{P}^2)=\mathbb{Z}/2$、$H_1(K)\otimes H_0=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2$。Tor 項は $\mathrm{Tor}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0$。$H_1=\mathbb{Z}\oplus (\mathbb{Z}/2{)}^2$、$t_1=4$。

$n=2$: テンソル項 $H_1(K)\otimes H_1(\mathbb{R}{P}^2)=(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2)\otimes \mathbb{Z}/2=(\mathbb{Z}/2{)}^2$、ほかは 0。Tor 項（$i+j=1$）は $\mathrm{Tor}(H_1(K),\mathbb{Z})=0$、$\mathrm{Tor}(\mathbb{Z},H_1(\mathbb{R}{P}^2))=0$。$H_2=(\mathbb{Z}/2{)}^2$、$t_2=4$。

$n=3$: テンソル項は 0。Tor 項（$i+j=2$）は $\mathrm{Tor}(H_1(K),H_1(\mathbb{R}{P}^2))=\mathrm{Tor}(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$。$H_3=\mathbb{Z}/2$、$t_3=2$。

検算: $\mathbb{Z}/2$ 係数のベッチ数は $K$: $(1,2,1)$、$\mathbb{R}{P}^2$: $(1,1,1)$ の積から $\dim H_1=3,H_2=1\cdot 1+2\cdot 1+1\cdot 1=4$ 等。整数係数の結果から $\mathbb{Z}/2$ 係数 $\dim H_1(X;\mathbb{Z}/2)=(1+2)+...=3$ で一致（$H_1\otimes \mathbb{Z}/2$ は $(\mathbb{Z}/2{)}^3$、$H_0$ の Tor はなし）。

答え: $(4,4,2)$。