核と像と次元定理

線形写像 $f:{\mathbb{R}}^5\to {\mathbb{R}}^3$ を $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ で定める。ただし
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 1& 1\\ 2& 4& 1& 3& 2\\ 1& 2& 1& 2& 1\end{array}\right)$$
とする。像 $\mathrm{Im}f$ の次元と核 $\ker f$ の次元を求め、$(\dim \mathrm{Im}f,\dim \ker f)$ の順に組で答えよ。

線形写像 $f:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3$ を $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ で定める。ただし
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 3\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right)$$
とする。核 $\ker f$ の次元と像 $\mathrm{Im}f$ の次元を、$(\dim \ker f,\dim \mathrm{Im}f)$ の順の組で求めよ。

実数係数で次数が $3$ 以下の $x$ の多項式全体のなす実線形空間を $V$ とする。線形写像 $f:V\to {\mathbb{R}}^3$ を
$$f(p)=\left(\begin{array}{c}p(0)\\ p(1)\\ p(-1)\end{array}\right)$$
で定める。$\dim \ker f$ と $\dim \mathrm{Im}f$ をこの順に求めよ。

線形写像 $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ を
$$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+2y+z\\ 2x+4y+3z\\ x+2y+2z\end{array}\right)$$
で定める。核 $\ker f$ の次元と像 $\mathrm{Im}f$ の次元を、この順に組 $(\dim \ker f,\dim \mathrm{Im}f)$ の形で求めよ。

線形写像 $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ を
$$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+2y-z\\ 2x+4y-2z\\ x+y+z\end{array}\right)$$
で定める。核 $\ker f$ の次元と像 $\mathrm{Im}f$ の次元を、この順に組 $(\dim \ker f,\dim \mathrm{Im}f)$ で求めよ。

$p$ を素数とし、$K$ を結び目、$D$ を $K$ の交点を $n$ 個（$n\ge 1$）もつ図式とする。$D$ の弧とは、$D$ を各交点で下を通る部分で切って得られる、図式の連続な部分のことをいう。$n\ge 1$ のとき $D$ の弧はちょうど $n$ 個あることは用いてよい。弧を $a_1,\dots ,a_n$、交点を $c_1,\dots ,c_n$ とする。写像 $x:\{a_1,\dots ,a_n\}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が $D$ の $p$ 彩色であるとは、各交点 $c_k$ で、上を通る弧を $a_i$、交点で切れて下を通る $2$ 本の弧を $a_j,a_l$（$j=l$ や $i\in \{j,l\}$ となる場合も含む）とするとき
$$2x(a_i)-x(a_j)-x(a_l)=0(\text{in }\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$$
が成り立つことをいう。$n\times n$ 整数行列 $M$ を、第 $k$ 行が交点 $c_k$ のこの式の係数を並べたもの（第 $m$ 列が弧 $a_m$ の係数で、同じ弧が式に複数回現れるときは係数を足し合わせる）として定め、$D$ の彩色行列とよぶ。

次の事実は用いてよい: $M$ から任意に $1$ つの行と $1$ つの列を除いた $(n-1)\times (n-1)$ 小行列の行列式の絶対値は、行・列の選び方と図式 $D$ の選び方によらず、$K$ の行列式 $\det (K)$ に等しい（$n=1$ のときは $0\times 0$ 行列の行列式を $1$ と約束する）。

$p$ が $\det (K)$ を割り切らないならば、$D$ の $p$ 彩色は、すべての弧に同じ色を塗る $p$ 個の定値彩色に限ること（したがって $p$ 彩色はちょうど $p$ 個であること）を証明せよ。

$n,m,p$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$, および正定値対称行列 $R\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ が与えられているとする。$(C,A)$ は可観測、すなわち可観測性行列
$$\mathcal{O}=\left(\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right)$$
の階数が $n$ であるとする。実対称行列 $P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ が半正定値であり、代数リッカチ方程式
$$A^{\top }P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{\top }P+C^{\top }C=O$$
を満たすとき、$P$ は正定値であることを証明せよ。ただし、実対称行列が正定値であることと、半正定値かつ正則であることが同値であることは用いてよい。

実数係数で次数が $4$ 以下の $x$ の多項式全体のなす実線形空間を $V$ とする。線形写像 $T:V\to V$ を
$$T(f)(x)=x^2{f}^{\prime \prime }(x)-2x{f}^{\prime }(x)+2f(x)$$
で定め、$V$ の部分空間 $W$ を
$$W=\{f\in V\mid f(1)=0\}$$
とする。$\dim (\mathrm{Ker}T\cap W)$ と $\dim (\mathrm{Im}T\cap W)$ をこの順に組で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、${\mathbb{R}}^n$ 上の実 2 次形式
$$q(x)=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j\left(x={}^t(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\right)$$
を考える。$q(x)={}^{t}xAx$ を満たす $n$ 次実対称行列 $A$ の正の固有値の個数を $p$、負の固有値の個数を $r$ とし（いずれも重複度を込めて数える）、組 $(p,r)$ を $q$ の符号という。$q$ の符号が $(1,n-1)$ であることを証明せよ。

ただし、実対称行列は直交行列によって対角化できること、および対角化可能な行列では各固有値の重複度がその固有空間の次元に等しいことは用いてよい。

$n$ を正の整数とし、$E$ を $n$ 次単位行列とする。$n$ 次実正方行列 $A$ が
$$A^2-3A+2E=O$$
を満たすとする（$O$ は $n$ 次零行列）。このとき、ある $n$ 次実正則行列 $P$ が存在して、$P^{-1}AP$ が対角成分がすべて $1$ または $2$ である対角行列になることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{R}}^n$ の部分空間 $U,W$ について $\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$ が成り立つことは用いてよい。

$A$ を $m\times n$ 実行列、$\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m$ とし、${\mathbb{R}}^m,{\mathbb{R}}^n$ には標準内積 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}={\mathbf{u}}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}$ を考える。正規方程式の解全体の集合を
$$S=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\mid A^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}=A^{\mathsf{T}}\mathbf{b}\}$$
とし、$A^{\mathsf{T}}$ の像を $\mathrm{Im}{A}^{\mathsf{T}}=\{A^{\mathsf{T}}\mathbf{y}\mid \mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^m\}\subset {\mathbb{R}}^n$ とする。

共通部分 $S\cap \mathrm{Im}{A}^{\mathsf{T}}$ がちょうど 1 つの元からなることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: ${\mathbb{R}}^k$ の任意の部分空間 $W$ に対し、$W^{\perp }=\{\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^k\mid \text{任意の }\mathbf{w}\in W\text{ に対し }\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0\}$ とおくと、任意の $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^k$ は $\mathbf{v}=\mathbf{w}+{\mathbf{w}}^{\prime }$（$\mathbf{w}\in W,{\mathbf{w}}^{\prime }\in W^{\perp }$）と表せる。

$k$ を体（代数閉体とは限らない）とし、整数 $d\ge 0$ に対して $S_d$ を $k[X,Y,Z]$ の $d$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする。$S_d$ は単項式 $X^a{Y}^b{Z}^c$（$a,b,c\ge 0$, $a+b+c=d$）を基底にもち、${\dim }_k{S}_d=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)$ であることは用いてよい。

斉次多項式 $F$ と点 $P\in {\mathbb{P}}^2(k)$ について、$P$ の斉次座標の代表 $p\in k^3\setminus \{0\}$ をとって $F(p)=0$ となるとき「$F$ は $P$ を通る」といい、$F(P)=0$ と書く（この条件は代表の取り方によらない）。$F(P)\ne 0$ はこの否定を表す。

整数 $n$ は $1\le n\le d+1$ をみたすとし、$P_1,\dots ,P_n\in {\mathbb{P}}^2(k)$ を互いに相異なる $n$ 点とする。
$$I=\{F\in S_d\mid F(P_1)=\cdots =F(P_n)=0\}$$
とおくとき、$I$ は $S_d$ の部分空間であって
$${\dim }_{k}I=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)-n$$
であることを証明せよ。

$n$ を $3$ 以上の整数とする。$n^2$ 個の実数の未知数 $x_{ij}(1\le i,j\le n)$ についての、次の $2n+2$ 個の式からなる連立 1 次方程式を考える。$$\sum _{j=1}^n{x}_{ij}=0(i=1,2,\dots ,n),\sum _{i=1}^n{x}_{ij}=0(j=1,2,\dots ,n),$$ $$\sum _{i=1}^n{x}_{ii}=0,\sum _{i=1}^n{x}_{i,n+1-i}=0.$$ この連立 1 次方程式の解全体は ${\mathbb{R}}^{n^2}$ の部分空間をなす。その次元を $n$ の式で求めよ。

実数を成分とする 3 次正方行列全体のなす実線形空間を $M_3(\mathbb{R})$ とし、
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$
とする。線形写像 $T:M_3(\mathbb{R})\to M_3(\mathbb{R})$ を $T(X)=AX-XA$ で定めるとき、像 $\mathrm{Im}T$ の次元を求めよ。

$K$ を体、$V$ を $K$ 上の有限次元線形空間とし、$T:V\to V$ を線形写像とする。$0$ 以上の整数 $k$ に対して $T^k$ を $T$ の $k$ 回の合成（$T^0$ は $V$ の恒等写像）とし、
$$d_k=\dim \mathrm{Ker}{T}^k$$
とおく。このとき、すべての正の整数 $k$ に対して
$$d_{k+1}-d_k\le d_k-d_{k-1}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、線形写像の次元定理（有限次元線形空間 $U$ からの線形写像 $\phi$ について $\dim U=\dim \mathrm{Ker}\phi +\dim \mathrm{Im}\phi$）と、有限次元線形空間 $W$ とその部分空間 $W^{\prime }$ について商空間 $W/W^{\prime }$ の次元が $\dim W-\dim W^{\prime }$ であることは用いてよい。

$q$ を素数べき、${\mathbb{F}}_q$ を $q$ 元体とし、$n,k$ を $1\le k\le n-1$ を満たす整数とする。$C\subset {\mathbb{F}}_q^n$ を $k$ 次元の線形符号とし（${\mathbb{F}}_q^n$ の元は行ベクトルとする）、
- $G$ を $C$ の生成行列、すなわち $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}\in {\mathbb{F}}_q^k\}$ を満たす階数 $k$ の $k\times n$ 行列、
- $H$ を $C$ の検査行列、すなわち $C=\{\mathbf{c}\in {\mathbb{F}}_q^n\mid H{\mathbf{c}}^{\mathsf{T}}=0\}$ を満たす階数 $n-k$ の $(n-k)\times n$ 行列

とする。語の重みを $0$ でない成分の個数とする。

このとき、次の 2 条件が同値であることを証明せよ。

(A) $G$ のどの $k$ 本の列ベクトルも ${\mathbb{F}}_q$ 上 1 次独立である。

(B) $H$ のどの $n-k$ 本の列ベクトルも ${\mathbb{F}}_q$ 上 1 次独立である。

なお、線形代数の基本事項（次元定理、正方行列が正則であることと列ベクトルが 1 次独立であることの同値性など）は用いてよい。

$n,m$ を正の整数とし、$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ とする。$(A,B)$ は可制御、すなわち可制御性行列
$$\mathcal{C}=\left(\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times nm}$$
の階数が $n$ であるとする。

任意の状態フィードバックゲイン $K\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ と、閉ループ行列 $F=A-BK$ の任意の固有値 $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して、
$${\dim }_{\mathbb{C}}\ker (\lambda I-F)\le m$$
が成り立つこと（すなわち、状態フィードバックで配置したどの極の幾何的重複度も入力の本数 $m$ 以下であること）を証明せよ。ここで $\ker$ は ${\mathbb{C}}^n$ における核とし、$I$ は $n$ 次単位行列とする。