線形代数の問題

手順 1：表現行列を書く。 $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ となる行列は
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 3\\ 1& 2& 2\end{array}\right)$$
である。

手順 2：行基本変形で階段行列にする。 第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引き、第 3 行から第 1 行を引くと
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
さらに第 3 行から第 2 行を引き、第 1 行から第 2 行を引くと
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
となる。主成分（ピボット）は第 1 列と第 3 列にあるので $\mathrm{rank}A=2$ である。

手順 3：核を求める。 $\ker f$ は $A\mathbf{x}=0$ の解全体である。階段行列から $x+2y=0,z=0$ なので、$y=t$（$t$ は任意の実数）とおくと
$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
よって $\ker f$ の基底は $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ の 1 個で、$\dim \ker f=1$。

手順 4：像を求める。 $\mathrm{Im}f$ は $A$ の列ベクトルで張られる空間である。ピボットのある第 1 列・第 3 列に対応する $A$ の列 $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ が基底になるので、$\dim \mathrm{Im}f=\mathrm{rank}A=2$。

手順 5：次元定理で確かめる。 $\dim {\mathbb{R}}^3=3=\dim \ker f+\dim \mathrm{Im}f=1+2$ となり、確かに成り立つ。

したがって答えは $(1,2)$ である。

$f$ の表現行列は $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 3\\ 1& 2& 2\end{array}\right)$ である。行基本変形を行う。第2行から第1行の2倍を引くと $(0,0,1)$、第3行から第1行を引くと $(0,0,1)$ となる。さらに第3行から第2行を引くと $(0,0,0)$ となる。よって階段形は $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ で、階数は 2 である。したがって $\dim \mathrm{Im}f=2$ であり、次元定理より $\dim \ker f=3-2=1$ である。
検算: $Ax=0$ を解くと、$z=0$ かつ $x+2y=0$ となるので、核は $(-2,1,0)$ で張られる。実際 $f(-2,1,0)=(0,0,0)$ であり、$\dim \ker f=1$ と一致する。また列ベクトルについて、第1列 $(1,2,1)$ と第2列 $(2,4,2)$ は比例し、第3列 $(1,3,2)$ は第1列と比例しないので、列空間の次元は 2 である。したがって答えは $(1,2)$ である。