線形代数の問題

手順 1：$A$ を行基本変形で階段行列にする。

第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引き、第 3 行から第 1 行を引くと
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
となる。さらに第 3 行から第 2 行を引くと
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
となる。主成分（各行の先頭の $1$）は第 1 列と第 3 列にあるので、$\mathrm{rank}A=2$ である。

手順 2：像を求める。

$\mathrm{Im}f$ は $A$ の列ベクトルで張られる部分空間である。主成分をもつ列に対応する、もとの $A$ の第 1 列と第 3 列
$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$
が $\mathrm{Im}f$ の基底になる。よって $\dim \mathrm{Im}f=\mathrm{rank}A=2$。

手順 3：核を求める。

$\ker f$ は $A\mathbf{x}=0$ の解全体である。階段行列から
$$x_1+2x_2+x_4+x_5=0,x_3+x_4=0$$
となる。主成分のない列に対応する $x_2=s,x_4=t,x_5=u$ を自由に選べる変数とすると、$x_1=-2s-t-u,x_3=-t$ なので
$$\mathbf{x}=s\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$
と表せる。この 3 つのベクトルは一次独立であり、$\ker f$ の基底になる。よって $\dim \ker f=3$。

手順 4：次元定理で確かめる。

$$\dim \mathrm{Im}f+\dim \ker f=2+3=5=\dim {\mathbb{R}}^5$$
となり、次元定理と合っている。

したがって答えは $(2,3)$ である。

行基本変形で階数を求める。$R_2-2R_1=(0,0,1,1,0)$、$R_3-R_1=(0,0,1,1,0)$ となる。したがって $R_3-R_1$ を $R_2-2R_1$ から引くと零行ベクトルになり、階数標準形の非零行は $(1,2,0,1,1)$ と $(0,0,1,1,0)$ の 2 本である。よって $\mathrm{rank}A=2$。

検算（列で確認）：第1列 $(1,2,1{)}^T$、第3列 $(0,1,1{)}^T$ は一次独立。第2列 $=2\times$第1列、第5列 $=$第1列、第4列 $=$第1列＋第3列（$(1,2,1)+(0,1,1)=(1,3,2)$ で一致）。したがって列空間は第1列と第3列で生成され、次元は 2。

ゆえに $\dim \mathrm{Im}f=2$。次元定理より $\dim \ker f=5-2=3$。