線形代数の問題

方針 0 の多い列で余因子展開して次数を下げ、残った 3 次の行列式を基本変形で計算する。

手順 1：第 3 列で余因子展開する

第 3 列の成分は上から $0,0,3,0$ で、0 でないのは $(3,3)$ 成分の $3$ だけである。第 3 列で余因子展開すると、$0$ の成分の項はすべて消えるので
$$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 1& 0& 2\\ 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 0& 4\end{array}\right|=(-1{)}^{3+3}\cdot 3\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 4\end{array}\right|$$
となる。右辺の 3 次の行列式は、もとの行列から第 3 行と第 3 列を取り除いたもの（小行列式）である。符号は $(-1{)}^{3+3}=1$ である。

手順 2：3 次の行列式を基本変形で計算する

ある行に別の行の定数倍を加えても行列式の値は変わらない。第 3 行から第 1 行を引くと
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{array}\right|$$
となる。第 1 列は上から $1,0,0$ なので、第 1 列で余因子展開して
$$=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-2\cdot (-2)=1+4=5$$
を得る。

（検算）サラスの方法で計算すると $1\cdot 1\cdot 4+2\cdot 2\cdot 1+3\cdot 0\cdot 0-3\cdot 1\cdot 1-2\cdot 0\cdot 4-1\cdot 2\cdot 0=4+4-3=5$ となり、一致する。

手順 3：まとめる

$$\text{(求める行列式)}=3\cdot 5=15$$

答え：$15$

第 3 列で余因子展開する。第 3 列の成分は (3,3) 成分の 3 以外すべて 0 である。(3,3) 成分の符号は $(-1{)}^{3+3}=+1$ なので、
$$\det =3\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 4\end{array}\right|.$$
3 次の行列式を第 1 行で展開すると
$$1(1\cdot 4-2\cdot 0)-2(0\cdot 4-2\cdot 1)+3(0\cdot 0-1\cdot 1)=4+4-3=5.$$
よって $\det =3\cdot 5=15$。

検算: 行基本変形 $R_3\to R_3-2R_1$, $R_4\to R_4-R_1$ を行うと、第 1 列は (1,0,0,0) になる。残りの 3 次の小行列は $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -3& 3& -5\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$ である。第 2 列で展開すると $3\cdot (1\cdot 1-2\cdot (-2))=3\cdot 5=15$ となり、一致する。