線形代数の問題

方針　$0$ を含む行で余因子展開すると、計算する項が減ります。第 $2$ 行 $(1,0,4)$ には $0$ があるので、第 $2$ 行で展開します。

余因子展開の式　$(i,j)$ 成分を $a_{ij}$、第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いてできる小行列式を $M_{ij}$ とします。第 $2$ 行で展開すると
$$D=(-1{)}^{2+1}{a}_{21}{M}_{21}+(-1{)}^{2+2}{a}_{22}{M}_{22}+(-1{)}^{2+3}{a}_{23}{M}_{23}$$
となります。符号は $(-1{)}^{i+j}$ で決まり、第 $2$ 行では $-,+,-$ です。$a_{22}=0$ なので、真ん中の項は $0$ になります。

小行列式の計算
- $M_{21}$ は第 $2$ 行と第 $1$ 列を取り除いたものです。$$M_{21}=\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 1\end{array}\right|=(-1)\cdot 1-3\cdot 2=-7$$
- $M_{23}$ は第 $2$ 行と第 $3$ 列を取り除いたものです。$$M_{23}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 2\end{array}\right|=2\cdot 2-(-1)\cdot 3=7$$

まとめ
$$D=-1\cdot (-7)+0-4\cdot 7=7-28=-21$$

検算（サラスの方法）
$$2\cdot 0\cdot 1+(-1)\cdot 4\cdot 3+3\cdot 1\cdot 2-(3\cdot 0\cdot 3+(-1)\cdot 1\cdot 1+2\cdot 4\cdot 2)$$
$$=0-12+6-(0-1+16)=-6-15=-21$$
となり、一致します。

よって、答えは $-21$ です。

第1行で余因子展開する。
$\det =2\cdot (0\cdot 1-4\cdot 2)-(-1)\cdot (1\cdot 1-4\cdot 3)+3\cdot (1\cdot 2-0\cdot 3)$
$=2\cdot (-8)+1\cdot (1-12)+3\cdot 2=-16-11+6=-21$。
検算（サラスの方法）: 主対角方向の和は $2\cdot 0\cdot 1+(-1)\cdot 4\cdot 3+3\cdot 1\cdot 2=0-12+6=-6$。逆方向の和は $3\cdot 0\cdot 3+2\cdot 4\cdot 2+(-1)\cdot 1\cdot 1=0+16-1=15$。差は $-6-15=-21$。一致する。