線形代数の問題

サラスの方法で計算する。行列式を $D$ とすると
$$D=(1+a)(1+b)(1+c)+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-1\cdot (1+b)\cdot 1-(1+a)\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot (1+c)$$
ここで
$$(1+a)(1+b)(1+c)=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc$$
だから
$$D=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc+2-(3+a+b+c)=abc+ab+bc+ca$$

（別解）第 2 行・第 3 行からそれぞれ第 1 行を引くと $\left|\begin{array}{ccc}1+a& 1& 1\\ -a& b& 0\\ -a& 0& c\end{array}\right|$ となり、第 3 列で展開して
$$1\cdot (0+ab)-0+c\{(1+a)b+a\}=ab+abc+bc+ca$$
となって同じ結果を得る。

（確認）$a=b=c=0$ のとき行列のすべての成分が $1$ で $D=0$、式も $0$ となり一致する。

行列式を第 1 列の分解で展開する。$\det (I+\mathrm{diag}(a,b,c)\text{に}J\text{を足す})$ の形（全成分 1 の行列 $J=11^T$ と対角行列 $\Lambda =\mathrm{diag}(a,b,c)$ の和 $\Lambda +J$）なので、直接サラスの公式で計算する。

$D=(1+a)(1+b)(1+c)+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-(1+a)\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot (1+c)-(1+b)\cdot 1\cdot 1$

$(1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc$ なので

$D=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc+2-(1+a)-(1+c)-(1+b)=abc+ab+bc+ca$。

検算: $a=b=c=1$ のとき行列は $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ で、固有値 $4,1,1$ より行列式 $4$。式は $1+3=4$ で一致。また $a=0$ のとき第 1 行と第 3 行... 具体的に $a=0,b=1,c=1$: 式は $0+0+1+0=1$、行列式は $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=1(4-1)-1(2-1)+1(1-2)=3-1-1=1$ で一致。