線形代数の問題

$4$ 次のヴァンデルモンド行列式を
$$V=\left|\begin{array}{cccc}1& a& a^2& a^3\\ 1& b& b^2& b^3\\ 1& c& c^2& c^3\\ 1& d& d^2& d^3\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$$
とおく。

文字 $t$ を加えた $5$ 次のヴァンデルモンド行列式
$$W(t)=\left|\begin{array}{ccccc}1& a& a^2& a^3& a^4\\ 1& b& b^2& b^3& b^4\\ 1& c& c^2& c^3& c^4\\ 1& d& d^2& d^3& d^4\\ 1& t& t^2& t^3& t^4\end{array}\right|$$
を考える。ヴァンデルモンドの行列式の公式より
$$W(t)=V(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)$$
である。右辺を $t$ について展開すると
$$(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)=t^4-(a+b+c+d)t^3+\cdots$$
なので、$W(t)$ の $t^3$ の係数は $-(a+b+c+d)V$ である。

一方、$W(t)$ を第 $5$ 行について余因子展開すると、$t^3$ は $(5,4)$ 成分であり、その余因子は $(-1{)}^{5+4}{M}_{54}=-M_{54}$ である。ここで $M_{54}$ は第 $5$ 行と第 $4$ 列（$x^3$ の列）を取り除いた小行列式で、これはちょうど $D$ に等しい。また、他の成分 $1,t,t^2,t^4$ の余因子は $t$ を含まないので、$t^3$ の係数は $-D$ である。

よって $-D=-(a+b+c+d)V$、すなわち
$$D=(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).$$

（検算）$a=0,b=1,c=2,d=3$ のとき、第 $1$ 行で展開すると
$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 4& 16\\ 3& 9& 81\end{array}\right|=(324-144)-(162-48)+(18-12)=72$$
であり、右辺は $6\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1)=72$ となって一致する。

第 4 列を $x^4$ ではなく $x^3$ に置き換えた行列式は通常のヴァンデルモンド行列式で、$V={\prod }_{i<j}(x_j-x_i)$ である。

$D$ は $a,b,c,d$ の交代式なので、差積 $V$ で割り切れる。商は対称式である。

次数を比べる。$D$ は同次式で次数は $0+1+2+4=7$、$V$ の次数は $6$ である。したがって商は 1 次の対称式であり、$k(a+b+c+d)$ と書ける。

定数 $k$ は $b{c}^2{d}^4$ の係数を比べて決める。$D$ の主対角成分の積 $1\cdot b\cdot c^2\cdot d^4$ の係数は $+1$ である。一方 $V\cdot (a+b+c+d)$ で $b{c}^2{d}^4$ の係数を調べる。$V$ の $b{c}^2{d}^3$ の係数は $+1$ で、これに $d$ を掛けると $b{c}^2{d}^4$ になる。ほかの組合せからは出ない。よって $k=1$。

検算として $a=0,b=1,c=-1,d=2$ を代入する。

$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& 1\\ 1& 2& 4& 16\end{array}\right|$。第 1 行で展開すると、$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 1& 1\\ 2& 4& 16\end{array}\right|$ を計算すればよい。

$1(16-4)-1(-16-2)+1(-4-2)=12+18-6=24$。

公式側は $(a+b+c+d)=2$。差積 $V=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)=1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdot 1\cdot 3=12$。積は $24$ で一致する。

以上より $D=(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$。