線形代数の問題

与えられた行列式を $D$ とする。行の基本変形（ある行から別の行の定数倍を引く）では行列式は変わらない。下の行から順に、第 4 行 $-$ 第 3 行、第 3 行 $-$ 第 2 行、第 2 行 $-$ 第 1 行 を行うと
$$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& x-1\\ 0& 2& 6& x^2-x\\ 0& 4& 18& x^3-x^2\end{array}\right|$$
第 1 列で展開して
$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& x-1\\ 2& 6& x(x-1)\\ 4& 18& x^2(x-1)\end{array}\right|$$
第 2 列から $2$、第 3 列から $x-1$ をくくり出すと
$$D=2(x-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& x\\ 4& 9& x^2\end{array}\right|$$
残った 3 次の行列式を第 1 行で展開すると
$$1\cdot (3x^2-9x)-1\cdot (2x^2-4x)+1\cdot (18-12)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
よって
$$D=2(x-1)(x-2)(x-3)$$
（確認: $x=1,2,3$ のときは 2 つの列が一致して $D=0$ となり、結果と合う。）

第 $k$ 行（$k=0,1,2,3$ 番目）が $(1^k,2^k,3^k,x^k)$ の形になっている（第 1 行は $k=0$、第 2 行は $k=1$、第 3 行は $k=2$、第 4 行は $k=3$）。これは節点 $1,2,3,x$ のヴァンデルモンドの行列式で
$$\prod _{i<j}(a_j-a_i)=(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=2(x-1)(x-2)(x-3).$$

検算: $x=1$ のとき第 4 列が第 1 列と等しく行列式は $0$。$x=0$ のとき第 4 列は $(1,0,0,0{)}^T$ なので、余因子展開で $-\det \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 4& 9\\ 1& 8& 27\end{array}\right)\cdot (-1{)}^{1+4}$ の符号を含めて計算すると、$\det \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 4& 9\\ 1& 8& 27\end{array}\right)=1\cdot 2\cdot 3\cdot \det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right)=6\cdot 2=12$、符号 $(-1{)}^{1+4}=-1$ を掛けるが、行列は第 1 行に $1$ があり第 4 列の成分は第 1 行のみなので値は $-12$。一方、式に $x=0$ を代入すると $2(-1)(-2)(-3)=-12$ で一致する。