線形代数の問題

方針：$A$ を対角化して $A=PD{P}^{-1}$ と表し、$A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ を使って計算します。

1. 固有値を求める。 特性多項式は
$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|=(4-\lambda )(3-\lambda )-2={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)$$
です。よって固有値は $\lambda =2,5$ です。2 次正方行列で固有値が相異なるので、$A$ は対角化できます。

2. 固有ベクトルを求める。
- $\lambda =5$：$A-5E=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right)$ より $-x+y=0$。固有ベクトルとして $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ がとれます。
- $\lambda =2$：$A-2E=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$ より $2x+y=0$。固有ベクトルとして $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ がとれます。

3. $P$ と $D$ をつくる。 固有ベクトルを並べて
$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$
とおくと $A=PD{P}^{-1}$ です。$\det P=-2-1=-3$ なので
$$P^{-1}=\frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$
です。

4. $A^n$ を計算する。 $A^n=(PD{P}^{-1}{)}^n=P{D}^n{P}^{-1}$ であり、$D^n=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)$ です。
$$P{D}^n=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 2^n\\ 5^n& -2\cdot 2^n\end{array}\right)$$
なので
$$A^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 2^n\\ 5^n& -2\cdot 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2\cdot 5^n+2^n& 5^n-2^n\\ 2\cdot 5^n-2\cdot 2^n& 5^n+2\cdot 2^n\end{array}\right)$$
となります。

5. $(2,1)$ 成分を読み取る。
$$\frac{2\cdot 5^n-2\cdot 2^n}{3}=\frac{2\left(5^n-2^n\right)}{3}$$

確認：$n=1$ のとき $\frac{2(5-2)}{3}=2$ で $A$ の $(2,1)$ 成分と一致します。$n=2$ のとき $A^2=\left(\begin{array}{cc}18& 7\\ 14& 11\end{array}\right)$ の $(2,1)$ 成分 $14$ と、$\frac{2(25-4)}{3}=14$ も一致します。

$A$ の固有値は $\det (A-\lambda I)=(4-\lambda )(3-\lambda )-2={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)$ より $\lambda =2,5$。

ケーリー・ハミルトンの定理より、$A^n=pA+qI$ と書ける。${\lambda }^n=p\lambda +q$ が $\lambda =2,5$ で成り立つので
$2^n=2p+q$, $5^n=5p+q$。
これを解くと $p=\frac{5^n-2^n}{3}$。

$(2,1)$ 成分は $pA$ の $(2,1)$ 成分 $=2p$（$I$ の $(2,1)$ 成分は 0）なので
$2p=\frac{2(5^n-2^n)}{3}$。

検算：$n=1$ のとき $\frac{2(5-2)}{3}=2$。$A$ の $(2,1)$ 成分は 2 で一致。$n=2$ のとき $A^2$ の $(2,1)$ 成分は $2\cdot 4+3\cdot 2=14$。式は $\frac{2(25-4)}{3}=14$ で一致。