線形代数の問題

手順 1：固有値を求める。
特性多項式は
$$\det (A-\lambda E)=(4-\lambda )(3-\lambda )-2={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)$$
なので、固有値は $\lambda =2,5$ である。異なる 2 つの固有値をもつので、$A$ は対角化できる。

手順 2：固有ベクトルを求める。
- $\lambda =2$：$A-2E=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$ より $2x+y=0$。固有ベクトルとして $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ がとれる。
- $\lambda =5$：$A-5E=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right)$ より $x=y$。固有ベクトルとして $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ がとれる。

よって $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$ とおくと $P^{-1}AP=D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$ である。$\det P=1\cdot 1-1\cdot (-2)=3$ より
$$P^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right).$$

手順 3：$e^{tA}$ を計算する。
$A=PD{P}^{-1}$ より $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$ なので、
$$e^{tA}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k}{k!}P{D}^k{P}^{-1}=P\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k}{k!}{D}^k\right)P^{-1}=P{e}^{tD}{P}^{-1}$$
となる。$D^k$ は対角成分が $2^k,5^k$ の対角行列だから、$e^{tD}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{2t}& 0\\ 0& e^{5t}\end{array}\right)$ である。したがって
$$P{e}^{tD}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{2t}& e^{5t}\\ -2e^{2t}& e^{5t}\end{array}\right),$$
$$e^{tA}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}{e}^{2t}& e^{5t}\\ -2e^{2t}& e^{5t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}{e}^{2t}+2e^{5t}& -e^{2t}+e^{5t}\\ -2e^{2t}+2e^{5t}& 2e^{2t}+e^{5t}\end{array}\right).$$

検算： $t=0$ のとき単位行列 $E$ になる。また、$t=0$ での微分係数を成分ごとにとると $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2+10& -2+5\\ -4+10& 4+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)=A$ となり、$\frac{d}{dt}{e}^{tA}{|}_{t=0}=A$ と一致する。

したがって、$(1,2)$ 成分は
$$\frac{e^{5t}-e^{2t}}{3}$$
である。

$A$ の固有多項式は ${\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)$ なので、固有値は $2,5$。

$\lambda =5$ のとき $(A-5I)v=0$ より $-v_1+v_2=0$ なので $v=(1,1{)}^T$。
$\lambda =2$ のとき $(A-2I)v=0$ より $2v_1+v_2=0$ なので $v=(1,-2{)}^T$。

$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$ とおくと $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(5,2)$。$\det P=-3$ なので $P^{-1}=\frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。

$e^{tA}=P\mathrm{diag}(e^{5t},e^{2t})P^{-1}$。
$(1,2)$ 成分は ${\sum }_j{P}_{1j}{e}^{{\lambda }_{j}t}(P^{-1}{)}_{j2}=1\cdot e^{5t}\cdot \frac{1}{3}+1\cdot e^{2t}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{e^{5t}-e^{2t}}{3}$。

検算: $t$ の 1 次の係数は $\frac{5-2}{3}=1$ で、$A$ の $(1,2)$ 成分 1 と一致。$t=0$ で 0 となり単位行列の $(1,2)$ 成分と一致。2 次の係数は $\frac{25-4}{3\cdot 2}=\frac{7}{2}$ で、$A^2$ の $(1,2)$ 成分は $4\cdot 1+1\cdot 3=7$ なので $7/2!$ と一致。